Rose e tulipani

Identificazione

Rally: 23.F.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: OPN
Famiglie:

• DIV - Ricercare dei multipli e/o dei divisori
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Impostazione di un’equazione lineare in due incognite di cui si ricercano le soluzioni intere (equazione diofantea) in un intervallo prestabilito.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che i fiori rimanenti corrispondono a 4 mazzi di rose e a 3 mazzi di tulipani e che il numero di tulipani rimanenti è uguale al numero delle rose rimanenti aumentato di 4.

- Comprendere che è preferibile ragionare sul numero di fiori per mazzo.

Risoluzione aritmetica:

Considerare che il numero di rose rimanenti è un multiplo di 4 e che il numero dei tulipani rimanenti è un multiplo di 3. Il problema si riduce a cercare un multiplo di 3 che, aumentato di 4 sia anche un multiplo di 4, cioè un multiplo di 3 che sia anche multiplo di 4, e ciò permette di ottenere il numero di fiori all’inizio della giornata, vicino (ma minore) a 400.

Elencare i multipli di 4 e quelli di 3:

  4   8  12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  …
  3   6   9  12  15  18  21  24  27  30  33  36  39  42  45  48  …

Ricercare i numeri comuni ai due elenchi e scegliere il multiplo di 4 precedente.

Individuare così le coppie possibili (8, 12), (20, 24), (32, 36), (44, 48) che corrispondono ai mazzi formati rispettivamente così (2 rose, 4 tulipani), (5 rose, 8 tulipani), (8 rose, 12 tulipani) e quindi i numeri iniziali di rose, di tulipani e di fiori totali, sono: (30 rose, 88 tulipani, 118 fiori), (75 rose, 176 tulipani, 251 fiori), (120 rose, 264 tulipani, 384 fiori), (165 rose, 352 tulipani, 517 fiori). Concludere che ci sono 120 rose e 264 tulipani.

Risoluzione algebrica:

Se si indica con x il numero di rose per mazzo e con y quello dei tulipani per mazzo si ha che il numero delle rose avanzate è 4x, quello dei tulipani rimasti è 3y e che deve essere soddisfatta la relazione 4x+4=3y.

L’equazione può essere risolta per tentativi, organizzati o no, assegnando a x rispettivamente i valori 1, 2, 3, 4…verificando poi che il primo membro sia un multiplo di 3. Si determinano così le seguenti coppie di soluzioni (2, 4); (5, 8); (8, 12); (11, 16); (14, 20) in corrispondenza delle quali si può calcolare il numero dei fiori che Silvia aveva in negozio:

• 30 rose e 88 tulipani, 118 in tutto, troppo pochi;
• 75 rose e 176 tulipani, 251 in tutto, troppo pochi;
• 120 rose e 264 tulipani, 384 in tutto che si avvicina a 400;
• 165 rose e 352 tulipani, 517 in tutto, troppi!

- Concludere dunque che Silvia aveva all’inizio 120 rose e 264 tulipani.

Oppure, con sistema misto: 4x+4=3y; 15x+22y < 400 si ottiene x < 8,361 che ci dice che le rose per mazzo sono 8 e i tulipani per mazzo sono 12

Risultati

23.F.18

Su 49 classi di 8 sezioni partecipanti alla prova finale del 23° RMT:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (120 rose e 264 tulipani) con spiegazione chiara e completa da cui si evidenzia l’unicità della soluzione
• 3 punti: Risposta corretta, ma con spiegazioni poco chiare oppure con solo verifica
  oppure risposta 384 fiori con spiegazione chiara e completa, che mostra l’unicità della soluzione
• 2 punti: Procedimento corretto, ma con un errore di calcolo
  oppure risposta 75 rose e 176 tulipani con spiegazioni chiare
  oppure risposta “8 e 12”, che indica rispettivamente il numero di rose e di tulipani per mazzo
• 1 punto: Risposta corretta senza alcuna spiegazione
  oppure inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema