Le champignon

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Rallye: 11.II.18 ; catégorie: 8 ; domaine: GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/CER - Traiter des grandeurs liées au cercle
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

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Résumé

Comparer le périmètre et l'aire de deux figures constituées de parties de circonférences.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer la figure, la redessiner ou la subdiviser pour comprendre comment s’articulent ses différentes parties, que le rayon de chacun des deux demi-cercles est la moitié du rayon du quart du « grand » cercle, AB, que les deux demi-cercles se divisent chacun en deux parties égales, AI et IC d’une part, BI et IC d’autre part, que le triangle ABC est rectangle en C, ...

- Le calcul des périmètres peut se faire algébriquement ou en prenant la valeur du rayon.

si r est le rayon des « petits » cercles, le périmètre du « pied » est 2(2πr/4) = πr, le périmètre du « chapeau » est πr+ 2π(2r)/4 = 2πr, c’est-à-dire le double de celui du « pied ». Avec une valeur de r = 4, on trouve 4π et 8π ou des approximations comme ≈ 12,56 et ≈ 25,12 (à ne pas confondre avec les nombres

- La comparaison des aires peut se faire par soustractions. Celle d’un demi-pied (segment de disque) est la différence entre l’aire d’un quart de disque et celle d’un triangle (fig. 1). L’aire du pied est 2πr²/4 – 2r²/2 = πr²/2 - r²

- L’aire du chapeau est celle d’un quart de « grand disque » à laquelle on soustrait successivement le triangle et les deux « petits » segments de disque (v. fig. 2): π(4r²)/4 - 4r²)/2 – (πr²/2 - r² ) = πr²/2 - r² et l’on constate ainsi l’équivalence des deux figures. Avec la valeur de r = 4, on trouverait 8π − 16 ou, avec l’approximation scolaire de π par 3,14 l’aire de chaque partie serait ≈ 9,12.

- On peut aussi ne pas effectuer les calculs en affirmant de manière explicite que, par exemple, les « petits » segments de disque valent le quart du « grand » étant donné que le rayon de ce dernier est le double de celui des premiers.

Notions mathématiques

cercle, disque, aire, périmètre, aire

Résultats

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