Economies de bougies

Identification

Rallye: 11.F.07 ; catégories: 5, 6 ; domaine: NU
Famille:

• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver tous les âges possibles de deux personnes s’écrivant avec deux mêmes chiffres, inversés, sachant que cette année l’âge d’une des deux personnes est 85 ans.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Percevoir les deux chiffres 8 et 5, leur position respective et le lien avec le nombre 85.

- Comprendre que les deux mêmes bougies peuvent afficher un autre nombre si on les permute: 58.

- Se rendre compte qui l'année suivante, les deux personnages auront 86 et 59 ans et que deux bougies ne suffiraient pas pour afficher les deux âges (il en faudrait quatre, avec les chiffres 8, 6, 5 et 9). L'année où l'on peut utiliser les deux bougies 5 et 8 est donc une année particulière (ce qui explique la "surprise" de Sylvie).

Dans une procédure par essais successifs à partir de 58 et 85, vers l'avenir ou vers le passé, rechercher toutes les années où deux chiffres suffisent à écrire les deux âges : 58 et 85, 59 et 86, 60 et 87, 61 et 88, 62 et 89, ..., 68 et 95, 69 et 96, ... . La recherche vers l'avenir s'arrête à 99 pour rester dans les nombres de deux chiffres. Vers le passé, la recherche amène à la découverte de 47 et 74, 36 et 63, 25 et 52, 14 et 41 et s'arrête à 10 pour rester dans les nombres de deux chiffres. (On pourrait éventuellement considérer aussi 03 et 30). La recherche peut être écourtée si l'on perçoit qu'il y a 11 ans entre deux années particulières (une dizaine et une unité, en plus ou en moins).

Il est aussi possible de s'appuyer sur la différence d'âge entre Sylvie et son père qui est toujours la même: 85 - 58 = 27.

- Il est alors possible de choisir, parmi tous les couples de deux chiffres différents, ceux qui permettent de former deux nombres dont la différence est 27. Par exemple, avec 4 et 6 on forme 46 ou 64, dont la différence est 64 - 46 = 18; comme 18 est différent de 27 il faut rejeter le couple 4 et 6. Dans cette recherche, on peut par exemple se limiter à l'inventaire des couples de chiffres dont la différence est 3 (car dans l'augmentation de 27 on ajoute 2 dizaines et la "retenue" due à l'addition de 7 unités fait passer à une 3e dizaine). Les couples à retenir sont donc 1 et 4; 2 et 5; 3 et 6; 4 et 7; 5 et 8 (déjà donné) 6 et 9.

Rédiger la réponse: les âges de Sylvie et de son père pour lesquels deux bougies suffisants sont 14 et 41, 25 et 52, 36 et 63, 47 et 74, 58 et 85, 69 et 96 ans.

Notions mathématiques

chiffre, nombre, numération, base 10, soustraction, différence, position, permutation, période

Résultats

11.F.07

Points attribués sur 72 classes finalistes de 11 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte avec les 5 nouvelles combinaisons, avec explications détaillées (par exemple tableau)
• 3 points: Réponse correcte avec les 5 nouvelles combinaisons, sans explications
  ou 4 nouvelles combinaisons correctes, ou 6 combinaisons comprenant (03 ;30), avec explications détaillées
• 2 points: 2 à 3 nouvelles combinaisons correctes avec explications ; ou 4 nouvelles combinaisons sans explications
• 1 point: Début de recherche organisée, avec une seule combinaison trouvée et expliquée, ou 2 à 3 solutions sans explications
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les moyennes des points attribués selon les critères ci-dessus: 1,44 et 1,55, respectivement pour les catégories 5 et 6, attestent d'une grande difficulté du problème pour des classes finalistes dans les conditions de passation du RMT.

Le pourcentage élevé des "0 point" ou "incompréhension du problème" montre que les groupes n'ont pas pu s'approprier la situation et percevoir le jeu sur les chiffres ni la particularité des années où deux bougies suffisent à écrire les deux âges qui sont des nombres de deux chiffres.

Exploitations didactiques

Le problème permet de revenir sur le concept-clé de notre numération de position, qui se construit sur une longue durée.

Après une première phase de recherche, il paraît nécessaire d'organiser une mise en commun pour pouvoir entrer dans le jeu sur les nombres, observer les couples de nombres de deux chiffres s'écrivant avec deux chiffres seulement, les distinguer de ceux qui des autres couples qui s'écrivent avec quatre ou parfois trois chiffres.

Les inventaires effectués, on peut s'intéresser à la manière de réduire la recherche, soit par les périodes de 11 ans entre deux couples particuliers d'âges ou par la constance des 27 ans d'écart entre les deux âges et la différence de 3 entre les deux chiffres.

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