Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre d'éléments de 5 ensembles connaissant le cardinal de quelques intersections et réunions.
- Organiser les données et observer que le nombre de la troisième boîte apparaît 3 fois dans l’inventaire, alors que toutes les autres ne figurent que deux fois.
Le total de 122 représente donc deux fois les boîtes I, II, IV et V et trois fois la boîte III. Donc, en soustrayant de 122 le double des sommes des lignes a et d, on obtient le triple du nombre de la troisième boîte : {122- [(24+16)x2]}:3=14.
De cette valeur, on remonte facilement aux autres: I=11; II=13; III=14; IV= 9; V = 7.
- L’approche algébrique est moins intuitive. Les cinq lignes du tableau constituent un système de 5 équations du premier degré qui peut se résoudre de plusieurs façons, dont celle décrite précédemment (2a + 2d - e = 3 x III) ou encore, par substitutions successives : III = I + 3, V = III - 7 ou V = I - 4.
L’équation e devient alors I + I + 3 + I - 4 = 32, d’où l’on obtient 3 x I = 33 et I = 11. On remonte alors aux autres valeurs : II = 13 ; III = 14 ; IV = 9 ; V = 7.
- On peut aussi procéder par essais et adaptations successives par exemple à partir de a) en fixant une valeur de la boîte I, en calculant les autres et adaptant vers le haut ou vers le bas.
quatre opération, système d’équations
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