I due rettangoli

Identificazione

Rally: 25.I.13 ; categorie: 7, 8
Ambiti: GP, GM ; famiglie: LA, CA, DEM, GDE, CA/D
Codice: gp115-it ; statuto: 2

Sunto

Confrontare le aree di due rettangoli diversi costruiti a partire da uno stesso parallelogramma (il primo su una coppia di lati paralleli, l’altro sull’altra coppia di lati paralleli).

Enunciato

Antonio e Bianca vogliono trasformare il parallelogramma qui disegnato in un rettangolo:

Per far ciò procedono in modo diverso:

- Antonio disegna un rettangolo in cui uno dei due lati minori coincide con uno dei due lati minori del parallelogramma e l’altro lato minore ha solo una parte in comune con il lato opposto del parallelogramma.

- Bianca disegna un rettangolo in cui uno dei due lati maggiori coincide con il lato maggiore del parallelogramma e l’altro lato maggiore ha solo una parte in comune con il lato opposto del parallelogramma.

disegno di Antonio disegno di Bianca

Antonio e Bianca ottengono così due rettangoli diversi.

I due rettangoli hanno la stessa area oppure l’area di uno è più grande di quella dell’altro?

Giustificate la vostra risposta.

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Osservare le figure, riconoscere il parallelogramma, in grigio, il rettangolo disegnato da Antonio e quello disegnato da Bianca e comprendere che ciascuno ha fatto una trasformazione dello stesso parallelogramma in due rettangoli differenti.

- Capire che occorre confrontare le aree, senza poterle calcolare poiché non sono state assegnate misure e che quindi occorre fare una scelta: prendere le misure sul disegno (o su disegni particolari) o lavorare con un metodo generale (indipendente da casi particolare)

- Nella figura di Antonio osservare che il parallelogramma è composto da un quadrilatero e da un triangolo mentre il rettangolo è composto dallo stesso quadrilatero grigio e da un triangolo bianco. Osservare che due triangoli sono congruenti con considerazioni di tipo geometrico: uguaglianza dei lati corrispondenti (criteri di congruenza dei triangoli), sovrapposizione dell’uno sull’altro mediante traslazione, … Concludere che il parallelogramma ha la stessa area del rettangolo perché equiscomponibili. Stessa procedura per i triangoli grigio e bianco della costruzione di Bianca, concludere così che i due rettangoli hanno la medesima area per la proprietà transitiva, poiché entrambi hanno area uguale a quella del parallelogramma.

Oppure:

- Applicando le relative formule delle aree: riconoscere che le altezze dei due rettangoli, scelta come base quella che entrambi i rettangoli hanno in comune con un lato del parallelogramma, sono anche le altezze del parallelogramma quindi ad esempio. Indicando con a il lato minore e con b il lato maggiore del parallelogramma e con ha e hb le altezze corrispondenti, l’area del rettangolo di Antonio è a × ha , mentre l’area del rettangolo di Bianca b × hb. Poiché entrambe le espressioni esprimono l’area del parallelogramma al variare della scelta della base (a × ha = b × hb), per transitività, dedurre che i due rettangoli hanno la stessa area.

Oppure:

- Confrontare le due aree mediante ritaglio e sovrapposizione precisa dei pezzi per concludere che i due rettangoli sono equiscomponibili al parallelogramma.

Oppure:

- Prendere le misure dei lati dei rettangoli, calcolare le due aree e confrontarle (tale procedura non permette di rispondere con certezza perché dipende dalle approssimazioni della misurazione)

Nozioni matematiche

Risultati

Punteggi attribuiti su 1922 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (i due rettangoli hanno la stessa area) con spiegazione: affermazione che i due triangoli sono uguali con qualche elemento di giustificazione sull’uguaglianza dei lati o esplicitazione della traslazione che porta all’equivalenza dei due rettangoli con il parallelogramma e poi, per transitività, all’equivalenza dei due rettangoli oppure utilizzando ritagli e sovrapposizione precisa dei pezzi oppure spiegazione che si basa sulle formule delle aree riconoscendo che in ogni rettangolo un lato è altezza del parallelogramma
• 3 punti: Risposta corretta sulla base di ritagli e sovrapposizione di pezzi in modo impreciso (ritaglio e/o incollaggio che mostrano strisce mancanti o pezzi sovrapposti non dovuti) senza altre giustificazioni
  oppure risposta corretta con una spiegazione basata sull’uguaglianza dei triangoli senza esplicitare la motivazione dell’uguaglianza e/o senza menzionare la transitività
  oppure risposta corretta con una spiegazione come punteggio 4 per un solo rettangolo
  oppure risposta corretta basata sulle misure dei lati e calcoli delle aree che portano a differenza di pochi millimetri ma osservazione sull’imprecisione delle misure per accettare l’equivalenza
• 2 punti: Risposta basata sulle misure dei lati con calcoli corrispondenti con negazione dell’equivalenza coerente con i risultati ottenuti
• 1 punto: Risposta corretta senza alcuna spiegazione
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure risposta errata senza spiegazione

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Indicazioni didattiche

Per andare più lontano

Bibliografia

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