Formule pour calculer le volume d'un tronc de cône ou de pyramide

Volume = (h/3) x (B₁ + (B₁B₂) + B₂)

Démonstration

Ce qui est remarquable dans cette formule, c'est que la hauteur totale de la pyramide ou du cône n'a pas besoin d'être connue. L'information est contenue dans le rapport d'une dimension linéaire des bases (par exemple le rayon du cercle ou le côté d'un carré) et la hauteur h du tronc.

On note H la hauteur totale de la pyramide ou du cône, R une dimension linéaire de la (grande) base B₁ et r la dimension linéaire correspondante de la base B₂.

Par Thalès: H/R = (H-h)/r et donc H = Rh/(R-r)

Cela peut s'écrire: H = h / (1 - r/R)

Quant à r/R c'est aussi la racine de B₂/B₁.

Notons: a = (B₂/B₁)

Volume de la pyramide ou du cône de base B₁: H B₁/3

Volume de la pyramide ou du cône de base B₂: (H-h) B₂/3

Volume du tronc de pyramide ou de cône: H B₁/3 - (H-h) B₂/3

Développement en remplaçant H dans la formule et en notant b_i la racine de B_i:

• H B₁/3 - (H-h) B₂/3
• [h B₁/ (1-a) - (h/(1-a)-h) B₂ ]/3
• (h/3) (B₁ - a B₂) / (1-a)
• (h/3) (b₁ B₁ - b₂ B₂) / (b₁ - B₂)
• (h/3) (b₁ - b₂) (B₁ + b₁ b₂ + B₂) / (b₁ - B₂)
• (h/3) (B₁ + b₁ b₂ + B₂)
• C.Q.F.D