Fonctions multiplicatives
Une fonction $\theta$ est multiplicative si:
- Elle est définie pour tout nombre entier positif
- Elle n'est jamais nulle
- $\theta(n \times m) = \theta(n) \times \theta(m)$ si $n$ et $m$ sont premiers
entre eux
Exemple: $\theta(n) = n^s$ où s est un nombre réel (ou même complexe)
quelconque.
Propriétés
Si $n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$ est la décomposition
canonique de n en facteurs premiers, alors on a:
$\sum_{d | n} \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \dots + \theta(p_1^{\alpha_1}))
\times \dots \times (1 + \theta(p_k) + \dots + \theta(p_k^{\alpha_k}))$
La somme s'étant à tous les diviseurs d de n.
Exemple, $\theta(n) = n^2$ ; $n = 20 = 2^2 \times 5$, on vérifie:
- $\theta(1) + \theta(2) + \theta(4) + \theta(5) + \theta(10) + \theta(20) =
1+4+16+25+100+400 = 546$
- $(1 + \theta(2) + \theta(4))(1 + \theta(5)) = 21 \times 26 = 546$
Application à $\theta(n) = n^s$
$\sum_{d | n} d^s = (1 + p_1^s + \dots + p_1^{s \alpha_1}) \times
\dots \times (1 + p_k + \dots + p_k^{s \alpha_k})$
Pour $s = 0$, la somme est le nombre de diviseurs de n:
$\tau(n) = (\alpha_1 + 1) \dots (\alpha_k + 1)$
Pour $s = 1$, la somme est la somme des diviseurs de n:
$S(n) = \frac{p_1^{\alpha_1 + 1} - 1}{p_1 - 1} \dots
\frac{p_k^{\alpha_k + 1} - 1}{p_k - 1}$