La notion de déterminant

On peut faire remonter son origine à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Mais le calcul des déterminants est utilisé dans de nombreux domaines.

Déterminant de dimension (ou ordre) 2

Soit un système de deux équations à deux inconnues:

\[ \Big\{ \begin{aligned} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{aligned} \]

En le résolvant de façon littérale, on trouve:

\[ \Bigg\{ \begin{aligned} x = \frac{de-bf}{ad - bc}\\ y = \frac{ce-af}{bc - ad} \end{aligned} \]

L'expression ad - bc se note:

\[ \begin{vmatrix} a \quad b\\ c \quad d \end{vmatrix} \]

C'est le déterminant du système. Avec cette notation:

\[ x = \begin{vmatrix} e \quad b\\ f \quad d \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} a \quad b\\ c \quad d \end{vmatrix} y = \begin{vmatrix} a \quad e\\ c \quad f \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} a \quad b\\ c \quad d \end{vmatrix} \]

Déterminant de dimension 3

Soit un système de trois équations à trois inconnues:

\[ \Bigg\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{aligned} \]

La solution s'obtient en calculant les 4 déterminants:

\[ D = \begin{vmatrix} a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13}\\ a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23}\\ a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33} \end{vmatrix} \quad D_x = \begin{vmatrix} b_1 \quad a_{12} \quad a_{13}\\ b_2 \quad a_{22} \quad a_{23}\\ b_3 \quad a_{32} \quad a_{33} \end{vmatrix} \quad D_y = \begin{vmatrix} a_{11} \quad b_1 \quad a_{13}\\ a_{21} \quad b_2 \quad a_{23}\\ a_{31} \quad b_3 \quad a_{33} \end{vmatrix} \quad D_z = \begin{vmatrix} a_{11} \quad a_{12} \quad b_1\\ a_{21} \quad a_{22} \quad b_2\\ a_{31} \quad a_{32} \quad b_3 \end{vmatrix} \]

Finalement: $x = D_x/D$ ; $y = D_y/D$ ; $z = D_z/D$