Trouver l'équation cartésienne

Droite dans le plan

Une droite dans le plan peut être donnée par:

  1. un point A et un vecteur directeur $\vec v$,
  2. deux points A et B.
Cas 1

Trouver l'équation paramétrique est facile:

x = a1 + $\lambda$ v1
y = a2 + $\lambda$ v2

En éliminant $\lambda$ entre les deux équeations, on trouve l'équation cartésienne:

v2 x - v1 y - (a1 v2 - a2 v1) = 0

Il est possible alors de simplement remplacer a1 et a2 par les coordonnées de A et v1, v2 par les composantes de $\vec v$.

On peut aussi simplement se souvenir que les coeffcients de x et y de l'équation cartésienne sont les composantes de $\vec v$ avec échange de v1 et v2 et échange d'un signe. Le terme constant (d) s'obtient simplement en remplaçant x et y par les coordonnées du point dans l'équation v2 x - v1 y + d = 0.

Cas 2

On peut se ramener au premier cas en posant $\vec v = \vec {AB}$.

On peut aussi introduire les coordonnées de A puis de B dans l'équation générale a x + b y + d = 0 (à la place de x et de y). Le résultat est un système de 2 équations à deux inconnues (a et b) qu'il suffit de résoudre.

A noter que pour le premier cas, on peut se ramener au deuxième en cherchant un deuxième point de la droite (en posant $\lambda$ égal 0 ou 1, par exemple, dans l'équation paramétrique).

Droite dans l'espace

Un équation cartésienne dans l'espace représente toujours un plan.

Mais une droite peut parfois être donnée par deux équations cartésiennes (intersection de deux plans).

Plan dans l'espace

Il peut être donné par:

  1. un point A et deux vecteurs directeur $\vec v$ et $\vec w$ (non parallèles),
  2. deux points A et B et un vecteur directeur $\vec v$,
  3. trois points A, B et C (non alignés).
Cas 1

Les équations paramétriques constituent le point de départ:

x = a1 + $\lambda$ v1 + $\mu$ w1
y = a2 + $\lambda$ v2 + $\mu$ w2
z = a3 + $\lambda$ v3 + $\mu$ w3

En utilisant les deux premières équations, il est possible de calculer $\lambda$ et $\mu$ en fonction de x et y. Puis il suffit de remplacer les expressions obtenues dans la troisième équation.

Cas 2

Le deuxième cas peut se ramener au premier en posant $\vec w = \vec {AB}$.

Cas 3

Le troisième cas peut se ramener au premier en posant $\vec v = \vec {AB}$ et $\vec w = \vec {AC}$.

Comme pour la droite, la solution peut aussi s'obtenir en résolvant un système de trois équations à trois inconnues.

Avec ax + by + cz + d = 0, équation cartésienne générale, les 3 équations s'obtiennent en remplaçant x, y et z par les coordonnées de A, B et C. Les 3 inconnues sont a, b et c.

Remarque: Les techniques utilisées dans le cas des espaces métriques (utilisation des produits scalaire et vectoriel) peuvent aussi être utilisées.