Groupe: Quelques théorèmes de base

TG1) Si a x = a y alors x = y

• a x = a y
• donc: a^-1 (a x) = a^-1 (a y)
• donc (associativité): (a^-1 a) x = (a^-1 a) y
• donc: e x = e y
• donc (e élément neutre): x = y

TG2) e neutre à gauche est neutre à droite (a e = a pour tout a)

• on définit: a e = a' ; à voir: a = a'
• a^-1 (a e) = a^-1 a'
• donc: (a^-1 a) e = a^-1 a'
• donc: e e = a^-1 a'
• donc: e = a^-1 a'
• puisque e = a^-1 a: a^-1 a = a^-1 a'
• donc (TG1): a = a'

TG3) Il existe un seul élément neutre (si e' est neutre, alors e' = e)

• e élément neutre à gauche et à droite (TG2): e' e = e'
• e' élément neutre: e' e = e
• donc: e' = e

TG4) a^-1 inverse à gauche dea est aussi inverse à droite (a a^-1 = e)

• on définit: a a^-1 = e' ; à voir e' = e
• a^-1 e' = a^-1 (a a^-1)
• donc(associativité): a^-1 e' = (a^-1 a) a^-1 = e a^-1 = a^-1
• donc (e neutre à droite): a^-1 e' = a^-1 e
• donc (TG1): e' =e

TG5) a^-1 est unique

• Immédiat par TG1

TG6) (a b)^-1 = b^-1 a^-1

• Vérification immédiate par associativité:
  (b^-1 a^-1) (a b) = b^-1 (a^-1 a) b = b^-1 e b = b^-1 b = e
• La conclusion découle de TG5.