Démonstration

Les mathématiques théoriques est une construction constituée de définitions, d'axiomes, et de théorèmes (ou propositions vraies).

• Les définitions servent à désigner avec peu de mots un ensemble de propriétés. Par exemple: un nombre pair est un nombre entier multiple de 2.
• Les axiomes sont des propriétés qui sont admises comme vraies sans démonstration, des évidences en quelque sorte. Leur sélection n'est pas une mince affaire, pour éviter qu'ils ne se contredisent.
• Les théorèmes affirment les propriétés d'objets numériques, géométriques et d'autres encore. C'est dans leur établissement, à partir des axiomes ou d'autres théorèmes, qu'intervient la démonstration. Un lemme est un théorème technique de préparation. Un corollaire est une conséquence directe d'un théorème.

On nomme conjecture une proposition que l'on soupçonne d'être vraie, mais dont on ne possède pas de démonstration. Grâce au conjecture on passe d'une question ouverte (par exemple: quels sont les nombres qui sont la somme d'une succession de nombres ?) à une affirmation fermée (Tous les nombres, sauf les puissances de 2 sont la somme d'une succession de nombres).

Une conjecture peut s'établir à partir d'essais ou par analogie.

Si une conjecture résiste à une démonstration, il est alors conseillé de chercher des contre-exemples ou d'adopter la conjecture inverse.

A côté des propositions vraies (les théorèmes), celles qui sont fausses, les conjectures, dans certaines parties de mathématiques, on soupçonne qu'il peut exister des propositions dont on ne peut pas décider si elles sont vraies ou fausse en l'état actuel de la théorie (du choix des axiomes).

Pour démontrer, il existe plusieurs stratégies et méthodes.

Stratégies

Les stratégies rejoignent la panoplie de résolution de problèmes: Se convaincre par des exemples, chercher des analogies, des cas particuliers, des cas plus généraux, représenter la situation (croquis), décomposer le problème en sous-problèmes, etc.

Un lemme est un théorème secondaire qui entre dans la démonstration d'un théorème principal.

Les méthodes (tactique)

Les principales techniques de démonstration sont: passage par la contraposée, démontration par l'absurde, démonstration par induction complète, examen systématique de cas.

Une démonstration se présente sous la forme d'une suite de propositions vraies qui peuvent être: les hypothèses, des propositions déjà connues, des propositions déduites des précédentes par une opération arithmétique, géométrique ou logique (modus ponens ou modus tolens).

Un exemple et même plusieurs ne suffisent pas à démontrer une proposition générale.

Un contre-exemple suffit à invalider une proposition.