Banca di problemi del RMT
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Determinare la quantità di acqua contenuta in un recipiente cubico, conoscendo la differenza di altezza raggiunta dall'acqua quando un lingotto (parallelepipedo rettangolo) è immerso verticalmente o orizzontalmente.
- Osservare che il volume d’acqua che Carlo ha versato è uguale al volume occupato nel recipiente da un’altezza d’acqua di 5 cm, meno il volume del lingotto (posizione 1), e che è anche uguale al volume occupato da un’altezza di 4 cm d’acqua nel recipiente nella posizione 2.
- Il calcolo di questi volumi conduce a scegliere la lunghezza l del lingotto come incognita. Il volume d’acqua che Carlo ha versato è uguale a $5 l^2 - 25 l$ (posizione 1).
- Il volume occupato da un’altezza di 4 cm d’acqua nel recipiente nella posizione 2 è uguale $4(l^2 - 25)$.
- Nelle due posizioni, il volume dell’acqua non è cambiato, si ha dunque $5 l^2 - 25 l = 4(l^2 - 25)$.
- Comprendere che la lunghezza del lingotto è superiore a 5 cm e procedere per tentativi numerici confrontando i volumi dell’acqua nelle due posizioni.
- Concludere che Carlo ha versato1500 cm3 d’acqua, ovvero un litro e mezzo.
Oppure:
- Procedere algebricamente. L’uguaglianza del volume dell’acqua calcolato nelle due posizioni porta all’equazione $5 l^2 - 25 l = 4(l^2 - 25)$. In alternativa, comprendere che il volume della parte non immersa del lingotto in posizione 2, $25(l - 4)$, è uguale al volume $l^2$ di una parte del recipiente di altezza 1 cm. Da cui l’equazione $l^2 = 25 l - 100$.
- Risolvere l’equazione di secondo grado con la formula risolutiva, oppure, nel primo caso, utilizzando il calcolo algebrico, scrivere $5 l^2 - 25 l = 4(l^2 - 25)$ da cui $5 l(l-5) = 4 (l^2 - 25)$ ed arrivare a $(l-5)(l-20) = 0$.
- Ottenere le due soluzioni $l = 5$ cm e $l = 20$ cm ed eliminare il valore 5 perché altrimenti il lingotto sarebbe un cubo.
- Calcolare il volume dell’acqua che Carlo ha versato: $5 l^2 – 25 l = 5 \times 20^2 - 25 \times 20 = 1500$ cm3, ovvero un litro e mezzo.
Su 247 classi di 21 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 113 (81%) | 7 (5%) | 8 (6%) | 4 (3%) | 7 (5%) | 139 | 0.45 |
| Cat 10 | 78 (72%) | 3 (3%) | 5 (5%) | 3 (3%) | 19 (18%) | 108 | 0.91 |
| Totale | 191 (77%) | 10 (4%) | 13 (5%) | 7 (3%) | 26 (11%) | 247 | 0.65 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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