Il cubo

Identificazione

Rally: 18.II.16 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambito: 3D
Famiglie:

• VS - Visualizzare nello spazio
• VS/2D - Cambiare il punto di vista
• VS/SV - Gestire sviluppi di solidi

Remarque et suggestion

Sunto

Ricostruire un cubo inserendo le lettere mancanti e mantenendo le posizioni indicate nelle rappresentazioni tridimensionali. Individuare le possibili soluzioni e giustificarle.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Dopo aver osservato e compreso che le immagini rappresentano lo stesso oggetto da punti di vista diversi si può passare o alla costruzione di un modello (ritagliare un modello dello sviluppo piano e posizionare le lettere già rappresentate A e I;

individuare le lettere mancanti e posizionarle per tentativi successivi sulle altre 4 facce ;

chiudere il cubo e verificare il rispetto delle condizioni rappresentate in figura) o al disegno in 2 dimensioni osservando le immagini (valutare i 3 diversi punti di vista dello stesso oggetto rappresentato ;

rendersi conto che la lettera A può essere utile come riferimento poiché compare su due immagini del cubo e sul suo sviluppo ;

osservare che le lettere sulle facce sono A, H, F, X e due volte la I su facce distinte ;

capire che la terza figura rispetto alla prima è ruotata di 90° rispetto al piano d’appoggio ; osservare dalla terza immagine che la lettera X va necessariamente posizionata sulla faccia a sinistra di A ;

osservare che a destra di A sullo sviluppo c’è la lettera I e capire che queste due lettere permettono di individuare la faccia sulla quale si trova la lettera H e determinarne la posizione tenendo conto della rotazione di 90° che subisce la faccia quando lo sviluppo del cubo viene chiuso. Poiché sono state completate le 4 facce con le lettere A, I, H e X, restano libere 2 facce , una per l’altra I e una per F ( fig.1 ).

Si presentano allora due possibilità e bisogna osservare la seconda foto, che mostra le tre facce I, I, F, dove le due I non sono sullo stesso piano, ma su due rette sghembe ortogonali e, di conseguenza, saranno su due rette perpendicolari sullo sviluppo:

• se si mette la seconda lettera I nella casella sotto la prima I, la lettera F sarà sulla casella di destra nella posizione descritta nella figura 2. (In questo caso, la prima I, al centro dello sviluppo, è quella della faccia superiore sulla seconda foto);
• se si mette la seconda lettera I nella casella a destra della prima I, la lettera F sarà sulla casella in basso nella posizione descritta nella figura 3. (In questo caso, la prima I, al centro dello sviluppo, è quella della faccia di fronte sulla seconda foto).

I saperi mobilizzati possono essere sintetizzati in : comprensione del fatto che le tre immagini rappresentano lo stesso oggetto da punti di vista diversi, riconoscimento di uno degli sviluppi del cubo, sapendo che è composto da 6 facce, padronanza della lateralizzazione spaziale ( destra –sinistra ) ( sopra – sotto ) , conoscenza degli effetti della rotazione di un solido, individuazione della posizione reciproca delle lettere anche in relazione ai loro assi di simmetria.

Nozioni matematiche

visione spaziale, rotazione, passaggio dalle piano alle spacio, passaggio dalle spacio alle piano, simmetria nel piano, simmetria nello spazio

Risultati

18.II.16

Su 609 protocolli esaminati delle sezioni di Rozzano, Riva, Siena, Parma, France Compté i punteggi attribuiti sono stati i seguenti

Osservando i dati della tabella , si nota che i successi (punteggi 3 e 4) raggiungono per entrambe le categorie il 50%, mentre la media dei valori è 2,3.

Non ci sono differenze sostanziali fra i punteggi delle due categorie analizzate. I risultati ottenuti dalle 1135 classi di Cat.7 e Cat.8 di tutte le sezioni del RMT conferm,ano in tutto e per tutto i dati sopra esposti.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Le due soluzioni (figure 2 e 3) con le lettere sulle facce “corrette” e ben orientate
• 3 punti: Una soluzione (figura 2 o figura 3) con le lettere sulle facce “corrette” e ben orientate oppure le due soluzioni, con tutte le lettere sulle facce “corrette”, ma alcune mal orientate
• 2 punti: Una soluzione (figura 2 o figura 3) con tutte le lettere sulle facce “corrette”, ma alcune mal orientate
• 1 punto: Una soluzione con due lettere sistemate su facce non corrette
• 0 punto: Incomprensione del problema.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Analizzando solo i successi (punteggi 3 e 4) si nota che la principale procedura è stata la rappresentazione grafica sul piano (65%) conseguente all’osservazione e corretta interpretazione delle immagini date come punti di vista diversi dello stesso oggetto.Una buona percentuale di alunni è ricorsa alla realizzazione di un modello con costruzione e ritaglio del cubo (35%) e conseguente verifica del corretto orientamento spaziale delle lettere. Le stesse procedure sono state utilizzate anche negli elaborati con punteggio 2; quelli che hanno ricevuto punteggio 1 e 0 hanno utilizzato prevalentemente la strategia del disegno. Nessuno ha consegnato l’elaborato in bianco.

L’ostacolo rilevato frequentemente tra gli elaborati che hanno ottenuto un punteggio pari a 3-2 -1 è costituito dal mancato orientamento corretto della lettera F che non presentando assi di simmetria ha creato un rilevante numero di difficoltà . In misura minore gli stessi errori sono stati rilevati per la lettera I. Osservando gli elaborati sembra che l’unico problema per molti sia quello di posizionare le lettere sulla faccia giusta, senza controllare se l’orientazione è corretta rispetto al modello fornito. In effetti l’ostacolo può essere suddiviso in due fasi sequenziali: la prima è quella di posizionare la lettera sulla faccia corretta; la seconda è quella di orientare correttamente la lettera confrontandola con il modello. La seconda rappresentazione prospettica del cubo ha generato in alcuni casi un errore di riconoscimento della lettera I posizionata sulla faccia superiore interpretata come J o L.

Rispetto all’ordine di posizionamento delle lettere e all’eventuale spiegazione, non è possibile fare un’analisi accurata di tutti gli elaborati, in quanto, nel problema viene richiesto solo il disegno, non la spiegazione della sua costruzione per pervenire alla soluzione.

L’errore più frequente è quello di procedere per tentativi non organizzati e fermarsi dopo aver trovato una sola soluzione corretta. In altri casi gli alunni hanno prodotto molte rappresentazioni con assegnazioni casuali delle lettere sulle facce. In diversi elaborati è mancata una corretta lettura del testo e delle immagini correlate : vengono utilizzate lettere non presenti e non giustificabili dall’osservazione. Un numero non rilevante di ragazzi rappresenta lo sviluppo del cubo con 5 facce : l’errore è probabilmente correlato al numero delle lettere leggibili dal disegno del testo.

Indicazioni didattiche

Il problema è adatto per le categorie alle quali è stato proposto; può essere presentato anche a categorie inferiori, specialmente se viene accompagnato dall’avvertenza di utilizzare la costruzione materiale del corrispondente modello. In questo caso può essere un ottimo problema per introdurre l’argomento e per lavorare sull’abilità relativa alla visualizzazione spaziale.

I problemi “Il cubo” e “Il plastico” richiedono una buona visualizzazione spaziale ed il passaggio dalle 2 D alle 3 D e viceversa; rispetto al secondo problema, che partiva da 2 punti di vista diversi (una proiezione di fronte e una vista dall’alto) questo presenta un ostacolo in più, in quanto richiede, oltre alla capacità di collocare nello spazio oggetti, anche la capacità di orientare tali oggetti tenendo conto della simmetria . Per tale motivo “Il cubo” può essere considerato sequenziale rispetto a “Il plastico”. L’utilizzo di lettere con o senza asse di simmetria costituisce un ulteriore input per affrontare in modo adeguato e completo l’argomento e le competenze ad esso correlate.

Per andare più lontano

Come abbiamo detto questo problema permette di lavorare su due registri: uno che rappresenta la visualizzazione spaziale e l’altro che rappresenta la simmetria. Ora se ci interessa lavorare sul primo aspetto e renderlo un poco più interessante potrei proporre il problema con solo una lettera fissa (es. la O in posizione centrale o qualsivoglia) e dare poi le altre 3 immagini, ognuna con due lettere combinate (es. O e X; I e A; F e H); Quindi chiedere di trovare tutte le posizioni possibili.

Se invece vogliamo lavorare sulla simmetria e renderlo un pochino più complicato posso proporlo inserendo al posto delle lettere delle figure non simmetriche (ad es. parallelogrammi, triangoli scaleni, pentagoni irregolari,………..). Le condizioni all’interno del problema possono essere le stesse, quindi un cubo con lo sviluppo in piano con due figure posizionate al centro e le altre 3 immagini con le altre 4 figure oppure posso renderlo ancora più interessante , magari per categorie superiori, scegliendo le 3 immagini, ognuna con solo due figure posizionate adeguatamente.

Si veda Le cube décoré

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