Banca di problemi del RMT
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Trovare il numero naturale tale che, applicandogli la successione delle cinque operazioni: “aggiungere 20”, “dividere per 3”, “sottrarre 2”, “moltiplicare per 4” e “sottrarre 10,” si ottiene il doppio del numero di partenza.
A partire da un numero naturale, effettuare la successione delle operazioni: aggiungere 20, dividere per 3, sottrarre 2, moltiplicare per 4 e, infine, sottrarre 10 ed ottenere il doppio del numero di partenza. Trovare questo numero e verificare l’unicità della soluzione.
Lavorare in modo algebrico: indicare il numero cercato con una lettera, ad esempio n; scrivere la sequenza delle operazioni; risolvere l'equazione corrispondente; verificare che ha una sola soluzione.
Oppure, a livello aritmetico, lavorare per tentativi successivi più o meno organizzati:
Addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, calcolo letterale
Su 657 elaborati esaminati di sette sezioni, i punti attribuiti sono stati i seguenti:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 66 (33%) | 24 (12%) | 70 (35%) | 34 (17%) | 5 (3%) | 199 | 1.44 |
| Cat 6 | 71 (29%) | 17 (7%) | 121 (49%) | 34 (14%) | 5 (2%) | 248 | 1.54 |
| Cat 7 | 31 (15%) | 18 (9%) | 104 (50%) | 41 (20%) | 16 (8%) | 210 | 1.97 |
| Totale | 168 (26%) | 59 (9%) | 295 (45%) | 109 (17%) | 26 (4%) | 657 | 1.64 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
Questi risultati sono confermati da quelli di altre sei sezioni, con medie rispettive di 1.4, 1.5 e 2.0 punti per le categorie 5, 6 7.
Dall’analisi a posteriori dei 314 elaborati delle sezioni di Parma, Siena e Puglia è emerso che, nella quasi totalità dei casi, chi ha risolto il problema ha seguito una procedura aritmetica per tentativi (più o meno organizzati ed esplicitati): si parte dall’1, si applica la sequenza delle istruzioni e si verifica che non va bene, si passa al 2, e poi si continua così, provando con i numeri successivi, fermandosi al numero 13, per il quale si verifica la condizione richiesta. Questa procedura permette spesso di rendersi conto che si possono eliminare i numeri che divisi per 3 danno valori non interi e che quindi ci si può limitare alla successione dei numeri che sommati a 20 sono multipli di 3: 1, 4, 7, 10, 13, 16,...
In alcuni elaborati si riassume la procedura da eseguire con un “algoritmo di calcolo” che è rappresentato in forma simbolica con la sequenza +2 ; :3 ; –2 ; ×4 ; –10.
In ogni caso, individuata la soluzione “13”, non si continua nella ricerca, dando per scontata l’unicità della soluzione. D’altra parte il modo in cui è espressa la domanda non induce a cercare altre soluzioni.
Il materiale esaminato evidenzia un numero molto alto di elaborati (25%) in cui si usano scritture scorrette. In particolare si nota un uso frequente dell’ “=” inteso come operatore unidirezionale (con il significato di “è il risultato di...”) e non come relazione di equivalenza (ad es., 13 + 20 = 33 : 3 = 11 - 2 = 9 × 4 = 36 - 10 = 26) e si trascura l’uso delle parentesi laddove è indispensabile, con la conseguente ambiguità di interpretazione della scrittura simbolica (ad es., indicato con N il valore incognito, si trova scritto: N + 20 : 3 – 2 × 4 – 10 = 2N). In alcuni elaborati di cat. 5 e 6 si invertono tra loro il secondo e terzo comando (“dividete per 3…” , “togliete 2…”), assumendo implicitamente vera la loro “commutatività”.
Questi comportamenti, come ben noto, sono di ostacolo per un corretto uso del linguaggio algebrico e per la costruzione del concetto di equazione.
Il problema, proposto in classi di cat. 5, 6, 7 (ma anche 8), consente agli allievi, dopo aver ripetuto le stesse operazioni tante volte con numeri diversi, di rendersi conto che ciò che rimane costante è l’‹algoritmo›, cioè la sequenza delle operazioni da effettuare, e che si può trovare un modo di rappresentare tale sequenza in forma simbolica. Il pensare ad indicare il numero da trovare con una lettera o un altro simbolo, permetterà di giungere abbastanza facilmente ed in modo spontaneo, a scrivere un’equazione.
Il commento di alcune insegnanti che hanno sperimentato il problema, trasversalmente, in classi prime, seconde e terze di scuola secondaria di primo grado è stato: Il problema appare interessante per la didattica perché: 1) ha un contesto che attira l’attenzione in quanto è simile a molti giochi che circolano tra i ragazzi ed è quindi piacevole; 2) il testo, semplice e schematico, favorisce l’appropriazione del compito; 3) prevede procedure risolutive sia aritmetiche che algebriche; 4) si presta alla costruzione di espressioni o equazioni; 5) offre la possibilità di verifica autonoma, senza l’intervento dell’insegnante.
Il problema, potrebbe essere proposto (o riproposto) in classi di cat. 8 o 9, per aprire la strada verso la manipolazione della scrittura simbolica per semplificarla, senza cambiarne la “validità” (principi di equivalenza), in modo da giungere alla determinazione dell’incognita, dando così inizio allo studio delle equazioni come oggetti matematici.
Può consentire quindi anche il confronto tra metodo algebrico e procedure di tipo aritmetico, per tentativi, che implicano, per ogni valore considerato, l’esecuzione ripetitiva di una determinata sequenza di calcoli. Tuttavia è da segnalare che alcuni insegnanti ritengono che : per un avvio alle equazioni tale problema produca una equazione troppo complessa.
Infine si osserva che cambiando le variabili didattiche (ad es., ambito numerico di appartenenza del numero iniziale, sequenza e natura delle operazioni, informazioni su ciò che si vuole ottenere), l’insegnante, o gli allievi stessi, possono produrre varianti del problema e quindi tipologie diverse di equazioni, con l’opportunità di ulteriori riflessioni e discussioni in classe.
Nel seguente elaborato di cat. 6 è ben sintetizzata la “procedura algoritmica” mediante una tabella in cui sono riportati i valori iniziali e quelli via via ottenuti, ed in cui emerge chiaramente la necessità di considerare solo i numeri della successione 1, 4, 7, …
Nella tabella si nota che al crescere, di 3 in 3, dei numeri nella successione 1, 4, 7, 10, …. i numeri finali ottenuti con la procedura algoritmica, cioè 10, 14, 18, 22,…, crescono di 4 in 4. Una tale osservazione è ben sottolineata anche in un elaborato di cat. 5: Partendo dal numero 1, abbiamo considerato solo i numeri divisibile × 3 e l’unico che si raddoppiava è il numero 13. Poi abbiamo scoperto che il ritmo dei numeri iniziali è sempre +3, mentre quello dei numeri finali è sempre +4 e in uno di cat. 7.
Queste osservazioni potevano portare ad affermare l’unicità della soluzione, che però gli allievi non hanno sentito il bisogno di esplicitare.
In alcuni elaborati di cat. 7 (9 sui 109 analizzati) si trova usato il linguaggio algebrico: il numero da cercare è indicato con una lettera (N o x) e le condizioni del testo sono tradotte con una scrittura algebrica, che di fatto è un’equazione, e la soluzione si trova sostituendo, di volta in volta, all’incognita un numero naturale fino a quando si arriva alla verifica dell’uguaglianza.
In particolare, in un elaborato si trova scritto: Prima di tutto abbiamo cercato di ‘riassumere’ le diverse operazioni in una formula [(x + 20) :3 – 2] × 4 – 10 = 2x; gli allievi che lo hanno prodotto dimostrano di avere “in atto” il concetto di soluzione di un’equazione, dal momento che proseguono sostituendo ad x numeri che sommati a 20 siano divisibili per 3 fino a trovare 13, che rende vera la scrittura. In altri due elaborati compare solo il primo termine dell’equazione che viene utilizzato come “espressione funzionale”.
È da segnalare poi un ultimo elaborato in cui si imposta e si risolve correttamente, l’equazione
x = [(2x + 10) : 4 + 2] × 3 – 20,
detta dagli allievi “inversa” visto che è ottenuta, in modo originale, procedendo a ritroso nella ricostruzione delle relazioni tra i dati.
Doretti, L., Medici, D., Rinaldi, M. G., Salomone, L.: 2007, ‘Costruzione del concetto di equazione: dalla messa in formula alla risoluzione di equazioni e sistemi lineari’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, D. Medici, M.G. Rinaldi (Eds.) I problemi come supporto per l’apprendimento: il ruolo del RMT, Vol. 6, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, Sezione di Parma dell’ARMT, ARMT [pubblicato anche in L'educazione Matematica, Anno XXVIII, Serie VIII, Vol. 3, n. 3 (2007), 13-30].
Doretti, L., Medici, D., Rinaldi, M. G., Salomone, L.: 2008, ‘Costruzione del concetto di equazione: un possibile percorso con i problemi del RMT’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, G. Bellò, R. Fassy, G. Telatin (Eds.) RMT fra pratica e ricerca in didattica della matematica, Vol. 7, Centro Risorse per la Didattica della Matematica, Sezione della Valle d’Aosta dell’ARMT, ARMT.
Malara N., Navarra G.: 2003, Quadro teorico di riferimento e glossario – Progetto ArAl, Pitagora Editrice Bologna.
Rinaldi M.G, Medici D. : ‘Un approccio costruttivo alla formalizzazione’, in P.Vighi (Eds.) Progettare Lavorare Scoprire, Grafiche Step editrice, Parma, 2010, 107-118, ISBN 88 7898 054 4
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