Banque de problèmes du RMT
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Trouver, dans un ensemble de 72 triangles, quadrilatères, pentagones et hexagones présentant 300 côtés en tout, le nombre de chacun de ces polygones sachant qu’il y a autant de quadrilatères que d’hexagones, que le nombre des triangles est le quintuple de celui des pentagones
Analyse a priori
- Comprendre qu’on est en présence de 72 polygones (24·3) dont on fait l’inventaire des côtés (300) et des relations entre les nombres des triangles, quadrilatères, pentagones et hexagones et que la demande est de déterminer chacun de ces nombres
- Procéder par essais organisés en vérifiant les contraintes. Par exemple : s’il y avait 1 pentagone, il y aurait 5 triangles, et 33 quadrilatères et hexagones (72 – 6) : 2 = 33; ce qui donnerait 350 côtés : 1 · 5 + 5 · 3 + 33 · 6 + 33 · 4 = 350, ce qui ne correspond pas aux données, ...
- Poursuivre en augmentant le nombres des pentagones pour trouver la solution : 6 pentagones, 30 triangles, 18 quadrilatères et hexagones, (72 – 36) : 2 = 18, et le nombre des côtés : 6 · 5 + 30·3 + 18·6 + 18·4 = 300
Le même genre de procédure est évidemment possible en organisant les essais à partir du nombre des autres polygones que les pentagones ou en tenant compte du nombre total de côtés (300) pour vérifier que le nombre de polygones est bien 72. Ou : Observer que dans un groupe de 1 pentagone et 5 triangles il y a 20 côtés et que dans un groupe de 1 quadrilatère et 1 hexagone il y a 10 côtés, ce qui fait 30 côtés en tout. S’il y avait 10 groupes d’un type et 10 groupes de l’autre on aurait bien 300 côtés mais 80 figures. Constater alors qu’avec 9 groupes du premier type, on aurait 20 côtés de moins qui devraient être récupérés par deux groupes du second type ; on aurait alors 12 quadrilatères et 12 hexagones, avec un nombre total de 78 polygones : 9 + 45 + 12 + 12 = 78. Essayer encore avec 8, 7 et 6 et vérifier que dans ce cas il y aurait 72 figures et 300 côtés.
Ou :
Poser un systèmes d’équation, par exemple avec a : nombre de pentagones et b : nombre d’hexagones et quadrilatères
(I) 5𝑎 + 5(3𝑎) + 6𝑏 + 4𝑏 = 300
(II) 𝑎 + 5𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 72
dont la solution est a = 6 et b = 18 , c’est à dire 30 triangles, 18 quadrilatères, 6 pentagones et 18 hexagones
triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, côté, sommet, équation, égalité, quintuple
Points attribués, sur 153 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 16 (31%) | 14 (27%) | 4 (8%) | 11 (22%) | 6 (12%) | 51 | 1.55 |
| Cat 8 | 11 (22%) | 17 (33%) | 1 (2%) | 8 (16%) | 14 (27%) | 51 | 1.94 |
| Cat 9 | 7 (26%) | 10 (37%) | 4 (15%) | 4 (15%) | 2 (7%) | 27 | 1.41 |
| Cat 10 | 5 (21%) | 7 (29%) | 1 (4%) | 1 (4%) | 10 (42%) | 24 | 2.17 |
| Total | 39 (25%) | 48 (31%) | 10 (7%) | 24 (16%) | 32 (21%) | 153 | 1.75 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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