Les tulipes d’Anne

Identification

Rallye: 27.I.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: AL, GP, OPN
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ1 - Résoudre une équation du 1e degré

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre de points disposés sur les contours de deux carrés concentriques, à côtés parallèles et espacés de 30 cm, sachant que sur le grand carré les points sont distants de 20 cm, sur le plus petit de 15 cm et qu’il y a le même nombre de points sur chaque carré.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Imaginer la figure qu’Anne veut réaliser et éventuellement faire un dessin représentant la situation : un petit et un grand carré de même centre et de côtés parallèle formant une double bordure (ou bande) de 30 cm de largeur, avec le même nombre de bulbes sur chaque carré, déterminant sur les côtés des deux carrés un même nombre de segments, de 15 cm sur le petit, de 20 cm sur le grand.

- Comprendre encore, puisqu’il y a un bulbe sur chaque sommet et que tous les segments sont de même longueur, que leur nombre est celui des bulbes sur chaque carré (la moitié du total) et qu’il y a le même nombre de segments sur chacun des côtés des deux carrés.

- Tirer encore de la donnée « distants de 30 cm » que le côté du grand carré mesure 60 cm de plus que celui du petit carré, ou que le périmètre du grand mesure 240 cm de plus que celui du petit.

Il y a de nombreuses manières de procéder pour déterminer le nombre de bulbes à partir des longueurs des segments (15 et 20), et selon les différences de longueur des côtés ou des pourtours des carrés, (respectivement de 60 et 240 cm). Par exemple :

- Procéder par essais organisés, (bulbes par côté) : si par exemple le nombre de bulbes sur chaque côté était 3, la mesure du côté le plus long serait 40 cm et celle du côté le plus court 30 cm, mais leur différence serait de 10 cm et non de 60 cm ; si le nombre de bulbes était 5, la différence entre les deux mesures serait de 20 cm (20 = 80 - 60) et ainsi de suite jusqu'à 13 bulbes sur chaque côté qui correspond à une différence de 60 cm [60 = 20 × (13 - 1) - 15 × (13 - 1)] puis au calcul du nombre de bulbes en décomptant ceux des sommets pris deux fois : (4 × 13) - 4 = 48 par carré et 96 en tout.

- Procéder en pensant aux multiples de 20 et 15 (longueurs des segments par côté) : comprendre que la longueur d’un côté du grand carré s’obtient en multipliant par 20 le nombre de segments sur le côté, de la même manière la longueur d’un côté du petit carré s’obtient en multipliant par 15 le nombre de segments sur le côté, et sachant que les longueurs des côtés diffèrent de 60 cm, trouver que ce sont les 12e multiples respectifs de 20 et 15 qui donnent cette différence.

- Procéder par proportionnalité, en se référant à l’homothétie entre les deux carrés : le rapport est 15/20 = 3/4, pour les longueurs des segments, il l’est aussi pour les périmètres dont la différence de longueur est 240 cm. On en tire les deux périmètres du petit 720 = (3 × 240) et du grand 960 = (4 × 240), qui divisés respectivement par 15 et 20 donnent chacun 48.

- Recourir à l’algèbre. Par exemple (bulbe par côté) : désigner par n le nombre de bulbes sur chaque côté des deux carrés, mettre en équation le problème: 20 (n - 1) – 15 (n - 1) = 60 dont la solution est 13 qui conduit à 48 bulbes par carré après avoir décompté les quatre bulbes des sommets

ou, plus simplement (bulbe par pourtour) :

avec b bulbes sur chaque pourtour, poser l’équation : 20 b -¨15 b = 240 dont la solution est 48.

Notions mathématiques

équation, premier degré, carré, centre, côté, parallèle, concentrique, distance, isométrie, homothétie

Résultats

27.I.17

Points attribués sur 1254 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (96 bulbes de tulipe) avec une explication claire et complète (représentation graphique, procédure par essais avec vérification de la compatibilité avec les conditions ou procédure algébrique avec désignation claire de l’inconnue.)
• 3 points: Réponse correcte avec une explication peu claire ou incomplète
  ou réponse erronée suite à une erreur de calcul, mais explication claire et complète qui atteste d’un raisonnement correct
  ou réponse 48 (oubli de doubler), mais avec explication claire
  ou réponse correcte avec seulement la vérification des conditions
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou réponse 48 (oubli de doubler), mais avec explication incomplète
• 1 point: Début de recherche correct (représentation graphique exacte, présence de quelques essais, ...)
  ou réponse 104 due au non retrait de 4 bulbes aux sommets de chaque carré
• 0 point: Incompréhension du problème

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