Le bouquet

Identification

Rallye: 17.I.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: AL, FN
Familles:

• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ2 - Résoudre une équation du 2e degré

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver le nombre n tel que 2n(n - 1) = 2244 dans un contexte de collecte entre élèves exigeant des conversions d’euros en centimes. (équation du second degré)

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Avant tout, interpréter correctement l’énoncé. Il s’avère que c’est la difficulté de lecture de l’énoncé qui a empêché de nombreux élèves de poser les bons calculs.

Calculer la cotisation qui serait obtenue pour différents effectifs n d’élèves par le produit de ce que chacun donne (2n) multiplié par le nombre d’élèves (n – 1), jusqu’à trouver, par essais successifs, 2244 centimes. On trouve ainsi n = 34.

Ou, interpréter l’énoncé sous forme algébrique : si n est le nombre d’élèves dans la classe, Sandra a reçu 2n (n–1) centimes d’euros.

L’équation 2n (n–1) = 2244, avec n entier, a pour solution 34. Pour résoudre cette équation, on peut procéder par quelques essais successifs, sachant que n est un nombre entier, à partir de n(n–1) = 1122.

On peut (en cat 10 ?), utiliser la formule générale de résolution de l’équation du deuxième degré après avoir simplifié par 2 : n (n–1) = 1122 ou n² - n - 1122 = 0 => n = 1+ ( √(1 + 4488) /2) seule racine acceptable).

Sans recourir à la formule générale on peut encore remarquer que 2(n – 1)² < 2 n(n – 1) < 2n². En utilisant les racines carrées on a donc : n – 1 < √1122 < n. Comme √1122 ≅ 33,5, on a n = 34.

Notions mathématiques

fonction, trinôme du second degré, équation du second degré, racine carrée, mise en équation

Résultats

17.I.15

Sur 1181 classes ayant participé à l’épreuve I du 17e RMT, de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte (34 élèves) avec une démarche raisonnée pour trouver
• 3 points: Réponse exacte obtenue par essais non organisés
• 2 points: Réponse exacte sans explication
• 1 point: Réponse erronée, mais début correct de démarche
• 0 point: Pas de réponse

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ici, pas d’ « obstacle » au sens de la didactique, mais lecture difficile et mauvaise compréhension de l’énoncé. La relative complexité de l’énoncé n’a pas permis à certains élève de s’approprier la situation, donc de résoudre le problème. Nous constatons que ce problème n’a pas été traité dans un cadre algébrique. En catégorie 7 et 8 ce n’est pas étonnant, ça l’est d’avantage en cat 9 où les élèves étudient des fonctions et apprennent à « mettre en équation » des problèmes dans des contextes divers. Et même en cat 10, à peine plus du quart des élèves écrit la bonne équation. Procédures et erreurs qui ont pu être identifiées :

  Catégories   Procédures                          Erreurs

  7 et 8      - par essais                   Comprennent que chaque élève donne  
                                             2 centimes 
              - utilisation d’une inconnue
              - écriture d’une équation      Trouvent 22, 33, 17 ou 11
              - recherche des diviseurs 
               de 2244

  9           - par essais
              - utilisation d’une inconnue
              - écriture d’une équation      Comprennent que chaque élève donne
                                             2 centimes

  10         - par essais
             - utilisation d’une inconnue
             - écriture d’une équation          
             - calcul de la racine carrée   Comprennent que chaque élève donne 
               de 1122                      2 centimes

Exploitations didactiques

Dans le cadre d’une expérimentation hors rallye dans 8 classes, une de cat. 8, cinq de cat. 9 et deux de cat. 10, ce problème a été proposé avec une question supplémentaire, dont l’objectif était d’inciter les élèves à se placer dans le cadre algébrique : « Écrivez les calculs à faire pour trouver le nombre des élèves de la classe ».

Mais là encore, 1 seule copie de cat 9 et 3 de cat 10 écrivent des équations (fausses en raison d’une mauvaise interprétation de l’énoncé !).

Dans deux copies, on a décelé l’idée de fonction, dans son registre « objet-image » et dans une autre de cat. 9, l’utilisation d’un tableur a permis d’obtenir la réponse.

A propos de la notion de fonction

• La notion de fonction est d’abord implicitement présente par l’introduction d’une inconnue identifiée par une lettre, avant qu’elle puisse, suivant le contexte du problème, acquérir le statut de variable. La résolution d’une équation est donc un précurseur à la notion de fonction, si elle est explicitement interprétée par une question du type : « parmi toutes les valeurs que peut prendre n (ou x), quelle est celle (ou sont celles) qui satisfait aux conditions du problème ? »
• Établir une relation entre variables au sein d’une formule est aussi un précurseur de l’idée de fonction. Cette formule étant associée à une condition (par exemple = 0), les élèves peuvent l’interpréter en termes de relation objet-image par : « parmi toutes les valeurs que l’on obtient par ce calcul à partir de celles de n (ou x), y en a t-il qui vérifient la condition ? »
• Dans ce problème 15 du bouquet, dans certaines copies les élèves ont pensé à la racine carrée comme opération inverse du carré, manifestant ainsi la présence de l’idée de fonction.
• La notion de fonction a été tardivement dégagée dans l’histoire des mathématiques (Leibniz), d’abord comprise comme des formules reliant des variables, d’autres modes de représentation ont suivi (algorithmes, tableaux, graphiques…). La notion de fonction prendra son véritable statut quand les élèves pourront passer d’un registre de représentation à un autre. Les analyses des problèmes de rallyes montrent la difficulté de ce passage conceptuel qui se construit tout au long des études secondaires.

Bibliographie

Henry, M. Le concept de fonction dans les problèmes du RMT, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 6, Parma 2006. Eds. Lucia Grugnetti, François Jaquet, Daniela Medici, M. Gabriella Rinaldi, ARMT, 2007, p. 151-168.

Krysinska, M. & Schneider, M. Émergence de modèles fonctionnels, les éditions de l’Université de Liège, col. Si les mathématiques m’étaient contées, 2010.

Groupe fonction (2013). Le bouquet. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-al9-fr.pdf)

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