Le temps des vendanges

Identification

Rallye: 14.II.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: FN
Familles:

• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les différentes manières d’obtenir le couple (18 ; 13) par addition de trois types de couples (3 ; 2), (2 ; 1) et (1 ; 1) dans un contexte de transports de deux types de récipients par trois transporteurs. (système linéaire de deux équations à 3 inconnues entières et strictement positives)

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Pour les catégories considérées on peut envisager différents types de procédures. Dans tous les cas l’utilisation de la proportionnalité pour le calcul du nombre de cuves convoyées par un tracteur lors de plusieurs allers-retours est un prérequis.

a. Une procédure possible : identification d’un problème relevant d’une mise en équation algébrique dont une méthode de résolution peut être anticipée. Identification des inconnues du problème (par exemple a, b et c les nombres respectifs de voyages des tracteurs A, B et C), des contraintes sur ces inconnues (entiers strictement positifs) et des relations qui les lient (3 a + 2 b + c = 18 et 2 a + b + c = 13). Mise en œuvre d’une méthode de résolution adaptée, par exemple, obtenir par différence a + b = 5 et retenir les solutions en nombres entiers naturels différents de 0 : (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2) (4 ; 2). Chaque couple permet de déterminer la valeur correspondante de c (respectivement 7, 6, 5, 4). On obtient ainsi quatre possibilités.

b. Autre procédure possible : procéder dans le champ multiplicatif et additif, avec des entiers, de manière organisée (éventuellement avec un tableau) en tenant compte des caractéristiques de chaque tracteur et du nombre de cuves transportées augmentant avec le nombre de voyages. Commencer par exemple en choisissant le nombre maximum de voyages du tracteur A, s’assurer que 6 voyages ne peuvent convenir, que 5 peuvent permettre de transporter les 18 grandes cuves mais alors pas les 13 moyennes (on aurait transporté 18 grandes cuves et 12 moyennes, ce qui ne suffit pas).

Puis supposer que le tracteur A fait 4 voyages (12 GC ; 8MC) et il faut alors tester toutes les possibilités pour les tracteurs B et C. On obtient ainsi une première solution : 4 voyages pour A, 1 pour B et 4 pour C. Et ainsi de suite jusqu’à obtenir les trois autres solutions : 3 voyages pour A, 2 pour B et 5 pour C, puis 2 voyages pour A, 3 pour B, 6 pour C et 1 voyage pour A, 4 pour B et 7 pour C.

Remarque : il est possible de réduire la recherche :

• en s’appuyant sur le sens et en prenant en compte que les tracteurs font au moins un voyage. On est amené à faire un travail équivalent à la résolution de 3 a' + 2 b' + c' = 12 et 2 a' + b' + c' = 9 ce qui limite le nombre de cas à étudier.
• en travaillant sur l’aspect syntaxique et en déduisant des équations que a + b doit être égal à 5. On peut difficilement envisager que cette déduction survienne sans recours au cadre algébrique.

c. Variante : déterminer une solution (par essais), obtenir les autres en observant qu’un voyage de A équivaut à un de B et un de C, s’assurer de l’exhaustivité.

Ainsi on peut essayer de distinguer deux types de savoirs mobilisables :

• d’une part ceux liés au cadre des équations linéaires.
• d’autre part ceux liés à l’aspect fonctionnel.

Pour ces derniers on peut distinguer deux aspects :

• la nécessaire mise en œuvre d’un raisonnement relevant de la proportionnalité pour le calcul du nombre de cuves convoyées par un tracteur lors de plusieurs allers-retours.
• l’utilisation en actes d’une ou deux fonctions de plusieurs variables. Le calcul des images se faisant dans le champ additif et multiplicatif sur des entiers.

Notions mathématiques

fonction, relations algébriques, relations fonctionnelles, proportionnalité, systèmes d’équations linéaires

Résultats

14e RMT

Sur 550 classes de 9 sections ayant participé à l’épreuve II du 14e RMT:

Avec, selon les critères de l’analyse a priori du problème :

• 4 points: Réponse correcte (les 4 possibilités : 4 voyages pour A, 1 pour B et 4 pour C ; 3 voyages pour A, 2 pour B et 5 pour C ; 2 voyages pour A, 3 pour B et 6 pour C ; 1 voyage pour A, 4 pour B et 7 pour C) bien argumentée
• 3 points: Découverte de trois possibilités correctes avec justifications
• 2 points: Découverte de deux possibilités avec justifications
  ou trois correctes et une ou plusieurs possibilités erronées
• 1 point: Une seule possibilité et/ou essais
  ou raisonnements qui attestent d’une compréhension initiale du problème
• 0 point: Incompréhension du problème

Globalement ce problème a donc été très moyennement réussi, y compris en catégorie 10.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Parmi les copies ayant 0 point on peut percevoir que la compréhension de l’énoncé et son appropriation s’avèrent très difficiles. La multiplicité des contraintes à prendre en compte et certaines formes syntaxiques semblent s’ériger en obstacles. On identifie ainsi des classes qui ont séparé le problème en trois : combien de trajets avec le tracteur A pour transporter la totalité des cuves, puis avec le tracteur B puis avec le C. D’autres classes n’ont pas envisagé que les tracteurs étaient toujours à pleine charge, d’autres encore n’ont pas tenu compte du fait que chaque tracteur faisait au moins un trajet. On reconnaît ici à la fois des difficultés de traitement de l’énoncé et aussi une difficulté à gérer un ensemble trop important de contraintes.

Les procédures utilisées par les classes s’étant engagées dans la recherche sont globalement des procédures par essais assez peu souvent organisés et relevant de démarches arithmétiques. Les rares démarches organisées sont peu productives, on ne voit ni tableau bien structurés, ni listes pertinentes (sauf en catégorie 10). On observe par ailleurs des procédures figuratives, où les élèves représentent les cuves par des barres de différentes tailles (y compris en catégorie 9). La plupart de ces copies donnent des solutions correctes en organisant des groupements. On reconnaît ainsi des procédures souvent utilisées dans les niveaux inférieurs et a contrario, même au niveau 8, 9 ou 10, n’apparaissent aucune procédure algébrique. Il est à noter que pour les niveaux observés et pour les copies qui permettent l’analyse, la question de la proportionnalité ne pose pas de difficulté.

Voir aussi Pour aller plus loin.

Exploitations didactiques

L’utilisation de ce problème en classe peut se faire avec des objectifs variés.

On peut tout d’abord le mettre en œuvre comme un problème de recherche sans objectifs vraiment notionnels mais en travaillant de façon principale les compétences métamathématiques ((Pour les objectifs précis et la mise en œuvre on renvoie aux travaux de l’IREM de Lyon et à (Arsac et Mante 2007) et (Exprime 2010).)). On cherche alors à développer autant des savoir-faire en résolution de problème qu’une attitude et un rapport aux mathématiques favorables à ces résolutions de problèmes.

On peut aussi viser des objectifs notionnels. Deux semblent possibles :

• la mise en évidence d’un aspect fonctionnel, au sens où le nombre de cuves transportées dépend de trois variables (le nombre de trajet de chacun des tracteurs). On peut alors, lors de la synthèse après une recherche minimale, étudier l’ensemble des valeurs prises par la fonction (les variables sont ici entières et majorées) en organisant convenablement la recherche des images.
• Une introduction (ou réintroduction) de l’outil algébrique pour résoudre des problèmes de ce type. Compte-tenu des résultats obtenus ici, l’outil algébrique n’est clairement pas disponible pour les élèves considérés, et il peut alors intervenir, après élaboration de solutions erronées ou partielles ou laborieuses, comme nouvel outil qui permet l’obtention de toutes les solutions plus efficacement. La situation se trouve alors être une situation-problème au sens de Régine Douady et doit permettre un nouvel apprentissage.

Dans tous les cas, quel que soit l’objectif, il est nécessaire que les élèves puissent réellement s’engager dans la résolution du problème et envisager ce qu’en est une solution. Pour cela, et puisque le cadre d’une situation de classe avec l’enseignant le permet, il s’avère nécessaire de faire un travail sur l’énoncé et son appropriation. Le vocabulaire et les formulations doivent être explicitées si nécessaire, les ambiguïtés levées, l’ensemble des contraintes mises en évidence et ceci afin que l’ensemble de la communauté de recherche soit d’accord sur le problème à résoudre. Ceci étant réalisé, les productions déjà recueillies montrent que les élèves doivent pouvoir s’engager dans la recherche et produire des raisonnements qui pourront être exposés puis débattus. La diversité des pistes observées permet d’envisager la possibilité de synthèses diverses suivant les objectifs poursuivis. (voir la rubrique pour aller plus loin).

Pour aller plus loin

Comme il a été dit précédemment, les procédures mises en œuvre dans le cadre d’épreuves du rallye ne sont pas algébriques. Ceci n’empêche pas leur diversité et la finesse de certaines. Quelques-unes, de même que l'analyse d'un problème semblable, sont présentées dans la monographie citée en bibliographie.

Bibliographie

Arsac, G. et Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert. Scéren CRDP de Lyon.

EXPRIME (2010). Expérimenter des problèmes innovant en mathématiques à l'école. Cédérom INRP

Groupe fonction (2010). Le temps des vendanges. Etudes ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-fn1-fr.pdf)

(c) ARMT, 2006-2024