Tempo di vendemmia

Identificazione

Rally: 14.II.14 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambito: FN
Famiglie:

• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari

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Sunto

Trovare i diversi modi per ottenere le coppie (18 ; 13) per addizionare tre tipi di coppie (3 ; 2), (2 ; 1) e (1 ; 1) in un contesto di trasporto di due tipi di recipienti con tre mezzi di trasporto. (sistema lineare di due equazioni con soluzioni intere e strettamente positive)

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Per le categorie considerate si possono evidenziare differenti tpi di procedure. In ogni caso l'utilizzo della proporzionalita’ per il calcolo del numero di tini trasportati da un trattore durante diversi viaggi di andata e ritorno e' un prerequisito. Si deve considerare il numero di vincoli necessari;

a. una procedura possibile: identificazione di un problema che richiede una messa in equazione algebrica, per il quale puo' essere anticipato un metodo risolutivo. Identificazione delle incognite del problema (per esempio a, b, c i numeri rispettivi di viaggi dei trattori A, B, C, delle condizioni su queste incognite (interi strettamente positivi) e delle relazioni che le legano (3a+2b+c=13). Applicazione di un metodo risolutivo adattato, per esempio, ottenere per differenza a+b=5 e costruire le soluzioni con numeri interi naturali diversi da zero: (1;4), (2;3), (3;2), (4;2). Ogni coppia permette di determinare il valore corrispondente di c (rispettivamente 7,6,5,4). Si ottengono cosi' quattro possibilita'. Nota: e' possibile ridurre la ricerca: intuitivamente e tenendo conto che i tattori fanno almeno un viaggio. Si e' condotti a fare un lavoro equivalente alla risoluzione di 3a'+2b'+c'=12 e 2a'+b'+c'=9 il che limita il numero di casi da studiare. lavorando sull'aspetto sintattico e deducendo dalle equazioni che a+b=5. Difficilmente si puo' riconoscere che questa deduzione si trovi senza il ricorso al quadro algebrico.

b. Altra procedura possibile: operare nel campo moltiplicativo e additivo, con degli interi, in modo organizzato (eventualmente con una tabella) tenendo conto delle caratteristiche di ogni trattore e del numero di tini trasportati che aumenta con il numero di viaggi. Cominciare per esempio scegliendo il numero massimo di viaggi del trattore A, assicurarsi che 6 viaggi non possono convenire, che 5 possono permettere di trasportare 18 tini grandi ma non 13 medi (si trasporterebbero 18 tini grandi e 12 medi, che non e' sufficiente). Supporre poi che il trattore A faccia 4 viaggi (12 CG, 8 CM), e bisogna allora testare tutte le possibilita' per i trattori B e C. Si ottiene cosi' una prima soluzione: 4 viaggi per A, 1 per B e 4 per C. E cosi' di seguito sino ad ottenere le altre tre soluzioni: 3 viaggi per A, 2 per B e 5 per C, 2 viaggi per A, 3 per B, 6 per C e 1 viaggio per A, 4 per B e 7 per C.

c. Determinare una soluzione (per tentativi) ottenere le altre osservando che un viaggio di A equivale a uno di B e uno di C, assicurarsi dell'esaustivita'. Cosi' si puo' provare a distinguere due tipi di saperi mobilizzati: - da un lato quelli legati al quadro delle equazioni lineari; - dall'altro quelli legati all'aspetto funzionale.

Per questi ultimi si possono distinguere due aspetti:

• la necessaria messa in atto di un ragionamento che rivela la proporzionalita' per il calcolo del numero di ceste trasportate da un trattore durante molti viaggi di andata e ritorno
• l'utilizzo pratico di una o due funzioni di piu' variabili. Il calcolo delle immagini nel campo additivo e moltiplicativo su degli interi.

Nozioni matematiche

funzione, relazioni funzionali, proporzionalità, sistema di equazioni lineari

Risultati

14e RMT

Su 550 classi di 9 sezioni che hanno partecipato alla prova II del 14° RMT :

Secondo i criteri determinati nell'analisi a priori:

• 4 punti : risposta corretta (le 4 possibilita' : 4 viaggi per A e 1 per B e 4 per C; 3 viaggi per A, 2 per B e 5 per C; 1 viaggio per A, 4 per B e 7 per C) ben argomentate
• 3 punti : scoperta di 3 possibilita' corrette con giustificazione
• 2 punti : scoperta di 2 possibilita' con giustificazioni oppure 3 corrette e 1 o piu' possibilita' sbagliate.
• 1 punto : una sola possibilita' e/o prove o ragionamenti che attestano una comprensione iniziale del problema
• 0 punto : incomprensione del problema

Globalmente questo problema e' stato dunque mediamente risolto con successo, compresa la categoria 10.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Dagli elaborati con 0 punti si puo' percepire che la comprensione del testo e la sua appropriazione si rivelano molto difficili. La molteplicità dei vincoli da imporre e trasformare in certe forme sintattiche si rivela un ostacolo. Si identificano anche classi che hanno separato il problema in tre : Quanti viaggi col trattore A per trasportare tutti i tini, poi con il trattore B, poi col C. Altre classi non hanno riconosciuto che i trattori erano sempre a pieno carico, altre ancora non hanno tenuto conto del fatto che ogni trattore faceva almeno un viaggio. Si riconoscono qui le difficoltà di trattamento dell’enunciato, sia le difficoltà legate alla gestione di troppi vincoli.

Le procedure utilizzate dalle classi messe in atto nella ricerca sono nel complesso delle procedure per tentativi molto poco organizzati, e che denotano strategie aritmetiche. Le poche procedure organizzate sono poco produttive, non si vedono né una tabella ben strutturata né liste appropriate (tranne che nella categoria 10). Si osservano anche strategie figurative, in cui gli allievi rappresentano le ceste con barre di differenti dimensioni (compresa la categoria 9). La maggior parte degli elaborati da’ soluzioni corrette organizzando raggruppamenti. Si riconoscono anche procedure spesso utilizzate nei livelli inferiori e al contrario, anche ai livelli 8, 9, 10 non compaiono strategie algebriche. E’ da notare che per i livelli osservati e per i protocolli che consentono l’analisi, la questione della proporzionalità non pone difficoltà.

Indicazioni didattiche

L’utilizzo di questo problema in classe può essere fatto con diversi obiettivi. Si può prima di tutto proporlo come un problema di ricerca senza obiettivi cognitivi, ma lavorando principalmente per le competenze metamatematiche ((Per gli obiettivi specifici e la messa in prtaica si rinvia ai lavori dell’IREM di Lione e a (Arsac et Mante 2007) e (Exprime 2010) )). Si cerca allora di sviluppare sia il saper fare nella risoluzione di problemi, sia un’attitudine e un rapporto con la matematica adeguata per questi problemi.

Si può anche puntare a degli obiettivi cognitivi.

Due sembrano possibili :

• la messa in evidenza di un aspetto funzionale, nel senso che il numero dei tini trasportati dipende da tre variabili (il numero di viaggi di ciascun trattore). Si può allora, con la sintesi dopo una ricerca minimale, studiare l’insieme dei valori assunti dalla funzione (le variabili sono qui intere e delimitate) organizzando convenientemente la ricerca delle immagini.
• una introduzione (o reintroduzione) dello strumento algebrico per risolvere problemi di questo tipo. Tenuto conto del risultato così ottenuto, lo strumento algebrico non è chiaramente disponibile per gli allievi considerati, e può allora intervenire, dopo l’elaborazione di soluzioni errate o parziali oppure troppo faticose, come nuovo strumento che permette di ottenere tutte le soluzioni possibili più efficacemente. La situazione si trova allora ad essere una soluzione-problema nel senso di Regine Douady e deve permettere un nuovo apprendimento.
In ogni caso, quale che sia l’obiettivo, è necessario che gli allievi possano realmente impegnarsi nella risoluzione del problema e riconoscere quella che è la soluzione. Per questo, e poiché il quadro di una situazione di classe con l’insegnante lo permette, si rende necessario fare un lavoro sull’enunciato e sulla sua appropriazione. Il vocabolario e le formulazioni devono essere esplicitate se necessarie, la ambiguità eliminate, l’insieme dei vincoli posti messo in evidenza e questo affinché la comunità di ricerca sia concorde sul problema da risolvere.

Realizzato ciò, le produzioni già raccolte mostrano che gli allievi devono poter impegnarsi nella ricerca e produrre dei ragionamenti che potranno essere esposti e poi discussi. La diversità delle piste osservate permette di riconoscere la possibilità di sintesi diverse coerenti con gli obiettivi posti.

Per andare più lontano

Come è stato precedentemente detto, le procedure messe in atto nel quadro delle prove del rallye non sono algebriche. Cio' non impedisce la loro varietà e la raffinatezza di alcune. Alcune di queste, come l'analisi di un problema similare, sono presenti nella monografia citata nelle bibliografia.

Bibliografia

Arsac, G. et Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert. Scéren CRDP de Lyon.

EXPRIME (2010). Expérimenter des problèmes innovant en mathématiques à l'école. Cédérom INRP

Groupe fonction (2010). Il tempo della vendemmia. Studio ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/studio-fn1-it.pdf)