La décoration de Charles

Identification

Rallye: 23.I.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: FN
Familles:

• PER - Traiter une suite périodique
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• SF - Etudier des suites de figures

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer l’aire de la partie grise d’un dessin d’une frise sur papier quadrillé, à partir d’une partie du dessin et de la donnée de l’aire totale de la partie blanche.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori d'origine:

- Observer le dessin et éventuellement le poursuivre pour comprendre les règles de construction.

- Dans cette construction, effective ou imaginée, comprendre tout d’abord que les deux figure représentent le début et la fin de la frise mais que la coupure entre les deux extrémités n’est pas l’espace réservé sur la feuille pour la partie manquante à l’échelle des figures mais qu’en réalité il faut écarter très sensiblement les deux figures.

- Se rendre compte que les deux colonnes de droite et de gauche sont différentes de celles du « centre » qui se répètent avec soit un motif vertical par bande de deux carrés du quadrillage (un pour chaque carré gris central), soit par des motifs verticaux symétriques par bande d’un carré de quadrillage.

- Par décomposition en triangles, constater que les motifs répétés contiennent respectivement 2 carrés blancs, ou un carré blanc et constater aussi que les carrés gris du centre ont une aire qui vaut deux carrés du quadrillage.

- Passer alors à la détermination de la longueur totale de la frise ou au nombre de motifs répétés qui est fixée par le nombre des 64 carrés blancs.

- Une première manière de « contourner l’obstacle » serait de poursuivre le dessin jusqu’à obtenir les 64 carrés (68 - 4) qui déterminent la longueur de la frise ; mais cette procédure est très longue car elle exigerait une frise de 66 carrés de quadrillage.

- Une procédure plus globale consiste à dénombrer les carrés blancs de chaque motif vertical respectivement deux par bande de deux, ou un par bande de un à partir de 64, pour arriver respectivement à 32 motifs ou à 64 motifs.

- Déterminer le nombre de carrés gris par motif : respectivement 6 ou 3 et calculer le nombre sur tous les motifs répétés : 32 × 6 ou 64 × 3 pour en trouver 192. Ajouter enfin les 4 carrés gris des colonnes de droite et de gauche pour arriver à 196.

Ou : toujours dans une procédure globale, constater l’égalité des aires grises et blanches (64 et 64) entre les deux bandes horizontales ce qui permet de trouver qu’il y a 32 carrés gris et de déterminer la longueur des deux bandes horizontales grises puis leur aire pour aboutir finalement à une calcul du genre: (2 × 64) + 64 + (2 × 2) = 196.

Il y a encore de très nombreuses manières d’organiser les parties de figures et les calculs correspondants.

Notions mathématiques

frise, période, suite, aire, carrés, triangles, quadrillage, fonction, dénombrements

Résultats

23.I.09

sur 2542 classes de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (196 carreaux) avec un dessin complet colorié ou une explication du procédé de calcul (avec la détermination d’un motif répété et la prise en compte des deux bandes extérieures)
• 3 points: Réponse correcte avec explications insuffisantes (dessin incomplet, pas de motif répété, procédé de calcul pas explicite, …)
• 2 points: Réponse avec une erreur due à l’oubli des deux bandes des extrémités (par exemple 34 = 68:2 motifs), avec explications claires
  ou un dessin complet correct avec une erreur de comptage
  ou réponse 196 carrés sans dessin ni explications
• 1 point: Un dessin est proposé avec un nombre erroné de motifs mais la détermination correcte de l’aire de la partie grise d’un motif d’un carré gris central de la frise.
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

(Commentaires provisoires en attendant les analyses a posteriori des copies d'élèves)

L’échec quasi total (trois quarts de « incompréhension du problème" dans l’ensemble) révèle des obstacles trop élevés pour les catégories 5 et 6.

On relève de nombreuses incompréhensions de la figure : de nombreuses copies font apparaître la frise complétée entre les deux parties, comprenant 8 ou 9 carrés centraux.

Les quatre carrés blancs des colonnes des extrémités n’ont pas toujours été distingués pour trouver le nombre de motifs répétés entre les extrémités.

La conversion des triangles blancs en carrés du quadrillage, ni celle des carrés gris du centre de la frise en carrés du quadrillage ne sont perçues clairement.

Peu de copies montrent une décomposition claire des motifs verticaux répétés.

Bibliographie

Groupe fonction (2016). La décoration de Charles. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-fn13-fr.pdf)

(c) ARMT, 2015-2024