Banca di problemi del RMT
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È data una successione, definita dai suoi primi tre elementi, di figure regolari, colorate in nero e in bianco, disegnata su carta quadrettata. Determinare la posizione della figura di cui la differenza delle aree bianche e nere è 196.
Il primo compito è di osservare le tre figure e determinarne le regolarità: costanti (quadrati bianchi degli angoli, larghezza dei rettangoli esterni, struttura a scacchiera) e variabili (dimensione, posizione delle figura 1, 2, 3,…, lunghezza del lato esterno: 4, 6, 8, 10, …, numero di quadrati neri: 1, 4, 9, 16…Calcolare le aree bianche e nere figura per figura, con eventualmente la loro espressione in funzione della posizione n delle figure:
4 × 2 + 1 × 2 = 10 ; 4 × 4 + 4 × 2 = 24 ; 4 × 6 + 9 × 2 = 42 ; 4 × 8 + 16 × 2 = 64 ; … ;
(in forma algebrica : 4 × 2n + n2 × 2 = 8n + 2n2)
e 4 + 2 = 6 ; 4 + 4 × 2 = 12 ; 4 + 9 × 2 = 22 ; 4 + 16 × 2 = 36 ; … ; 4 + n2 × 2 = 4 + 2n
(in forma algebrica : 4 + n2 × 2 = 4 + 2n2).
Successivamente determinare le differenze successive dei termini corrispondenti « passo a passo » 4 ; 12 ; 20 ; … ; 100 ; … ; 180 ; 188 ; 196 ; che è una progressione aritmetica di ragione 8
(in forma algebrica con la differenza delle due funzioni in funzione della posizione n delle figure : (8n + 2n2) – (4 + 2n2) si riduce ad una espressione di primo grado (lineare) 8n – 4 ).
Questo compito è notevolmente semplificato se si osserva che, nella parte centrale di ogni figura (la scacchiera) le aree delle parti bianche e nere sono uguali e che si può di conseguenza non tenerne conto nella differenza, per la quale è sufficiente calcolare l’area del bordo esterno: i quattro quadrati bianche e i quattro rettangoli neri.
Determinare la posizione della figura in cui la differenza delle aree è 196 o nel risolvere l’equazione 8n – 4 = 196, da cui n = 25.
Ci sono evidentemente numerosi altri modi di arrivare al calcolo delle aree, della loro differenza e della determinazione della posizione, tramite liste, tabelle, inventari o altre constatazioni… fino al passaggio all’algebra.
successione, funzione, figura, area, quadrato, conteggi
Su 947 classi di 20 sezioni
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 377 (59%) | 52 (8%) | 43 (7%) | 47 (7%) | 124 (19%) | 643 | 1.21 |
| Cat 9 | 74 (46%) | 11 (7%) | 16 (10%) | 32 (20%) | 27 (17%) | 160 | 1.54 |
| Cat 10 | 63 (44%) | 15 (10%) | 7 (5%) | 24 (17%) | 35 (24%) | 144 | 1.67 |
| Totale | 514 (54%) | 78 (8%) | 66 (7%) | 103 (11%) | 186 (20%) | 947 | 1.33 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
1) Progressione aritmetica
a) La grande maggioranza delle risoluzioni corrette utilizza la progressione aritmetica delle differenze, di ragione 8 ; in alcuni casi (prevalenti fino alla categoria 9), vengono scritti tutti i termini di questa progressione fino al venticinquesimo che è 196. Numerosi elaborati presentano scritture sotto forma di tabella del tipo :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100 108 116 124 132 140 148 156 164 172 180 188 196
Si nota in questa procedura una prima consapevolezza della distinzione fra posizioni (indici) e termini della successione, anche se manca la scrittura del termine generale e ogni termine viene scritto a partire dal precedente (in forma ricorsiva).
b) In molti casi, soprattutto nelle cat. 9 e 10, gli allievi sono riusciti ad arrivare alla risposta senza scrivere tutti i termini della successione ma con un ragionamento più generale, che fa implicitamente riferimento al termine generale della successione delle differenze: 8n-4. Gli elaborati che seguono queste procedure iniziano spesso con l’esplicitare che la differenza fra il numero di quadrati neri e bianchi all’interno delle figure è sempre nulla e che quindi la differenza è determinata solo dai quadrati neri e bianchi che compongono il bordo delle figure. Gli approcci seguiti sono essenzialmente due:
b1) Utilizzo implicito della successione 8n dei quadrati neri del bordo : a 196 (differenza fra quadrati neri e bianchi del bordo) si aggiunge 4 (numero di quadrati bianchi del bordo) e si ottiene 200 (numero di quadrati neri del bordo). Questo numero viene solitamente prima diviso per 4 (lati del quadrato) e poi per 2 (perché su ogni lato ci sono 2n quadrati neri) oppure subito per 8.
b2) Utilizzo implicito della formula an = a1 + 8(n-1) delle progressioni aritmetiche: Poiché an =196 e a1 = 4, con la differenza 196 - 4 si ottiene 8(n-1) e, dividendo per 8, si ottiene 24 (cioè n - 1). Quindi si aggiunge 1 per ottenere 25.
2) Altre regolarità:
Si osserva che le prime 3 differenze sono 4, 12, 20 e si nota che si tratta di multipli secondo interi dispari di 4: 4 x 1, 4 x 3, 4 x 5,…. Quindi si divide 196 per 4 ottenendo 49. In maniera più o meno esplicita gli allievi osservano che 49 è il venticinquesimo numero dispari e concludono che 196 corrisponde alla differenza di posto 25.
3) Procedura per tentativi :
In qualche caso gli allievi calcolano il numero totale di quadrati bianchi e neri con formule spesso implicite, del tipo 4 + 2n2 e 8n + 2n2 e trovano il venticinquesimo per tentativi. In alcuni casi i tentativi non vengono esplicitati : si dichiara di essere arrivati alla posizione 25 ed eventualmente si procede ad una verifica del risultato.
4) Procedura algebrica:
In pochi casi si introduce esplicitamente una lettera, più nel ruolo di incognita che per indicare il generico termine della successione. Solo in un caso (cat.10) fra più di cento protocolli esaminati è stata scritta (e risolta) l’equazione: (8x + 2x2) – (4 + 2x2) = 196 e in un altro (cat.10) compare l’equazione (8n) - 4 = 196.
Ostacoli
E’ necessaria una minuziosa osservazione delle figure per trasferire le osservazioni in una successione di differenze di quadrati bianchi e neri, figura per figura.
La presenza di numerose successioni, alcune fuorvianti come la successione n2 del numero di grandi quadrati neri presenti all’interno delle figure, altre non immediate come la successione 2n del numero di quadretti neri presenti su ogni lato della figura di posizione n può essere un ostacolo alla riuscita.
L’attenzione focalizzata sui grandi quadrati neri piuttosto che sul bordo può ricondursi all’insistenza dell’enunciato nella descrizione dell’interno delle figure «l’interno è formato da quadrati neri allineati il numero dei quali aumenta di 1 da una figura all’altra sia nelle colonne che nelle righe». Pensiamo che l’eliminazione di questa frase forse avrebbe consentito una migliore messa a fuoco del calcolo delle differenze.
La difficoltà di riconoscere la successione 2n è particolarmente rilevante negli elaborati che presentano dei disegni fotocopiati male, in cui non è visibile la griglia di sfondo o in cui, addirittura, come sfondo è presente una quadrettatura diversa.
Un ulteriore ostacolo potrebbe essere il passaggio dal termine generale di una successione all’indice della successione stessa. In numerosi elaborati, che seguono la strategia 1b), viene correttamente riconosciuto il numero 200 come numero di quadretti neri del bordo dell’ultima figura ma non si risale correttamente alla posizione 25 della figura corrispondente. In altri elaborati, che utilizzano la strategia 2), il numero 49 viene interpretato come posizione della figura e non come venticinquesimo numero dispari.
Su 102 elaborati di livello 8, 50 hanno ricevuto « 0 » punti, e 15 sono in bianco. Il problema non ha dunque avuto una buona riuscita.
È evidente che il salto epistemologico del passaggio all’algebra non è stato affatto raggiunto.
Gli allievi che hanno osservato che la differenza aumenta di 8 ogni volta, privilegiano, in grande maggioranza, lunghe liste di calcoli esplicitati ad ogni passo, alla divisione per 8 di (196 + 4).
Altri segnali della persistenza di comportamenti acquisiti nelle classi precedenti sono l’applicazione di una pseudo-proporzionalità assolutamente inadeguata, oppure la cattiva lettura dell’enunciato per ritrovarsi nel terreno conosciuto dell’area di un quadrato.
Si può anche osservare, a proposito degli elaborati che danno come risultato un indice decimale o un indice uguale a 2, 6, o 7, che gli allievi hanno perso di vista la situazione proposta.
Infine, in più del 13% degli elaborati, si ritrova il vincolo del contratto didattico che richiede una soluzione, ottenuta ad ogni costo.
I risultati non migliorano sensibilmente per le cat. 9 e 10, anche se diminuiscono le risposte errate dovute ad un uso scorretto delle proporzioni e le risposte di tipo decimale che denotano totale incomprensione del significato di indice di una successione. Tuttavia anche in queste categorie l’utilizzo dello strumento «successione» è spesso implicito e non sempre ben gestito; mentre le strategie «passo a passo» e la ricerca di regolarità appaiono più accessibili agli allievi di questi livelli.
Groupe Fonction de l'ARMT. Etude Toujours plus grand. 2016
(c) ARMT, 2015-2024