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Le pré du père François (I)

Identification

Rallye: 18.II.14 ; catégories: 7, 8 ; domaines: OPN, GM
Familles:

Résumé

Trouver les dimensions d’un rectangle de 42 m2 et de 20 m de périmètre partiel, composé de trois côtés, dans un contexte d’enclos rectangulaire adossé à une ancienne clôture.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Se rappeler que l’aire d’un rectangle est égale au produit de la longueur par la largeur.

- Chercher les couples de diviseurs entiers (a, b) de 42 qui vérifient a + 2b = 20. Pour cela, on peut faire un tableau de calcul analogue au suivant :

  a     2   3   6   7  14  21
  b    21  14   7   6   3   2 
  a+2b 44  31  20  19  20  25

- En conclure que le père François a deux possibilités s’il veut utiliser entièrement ses 20 m de grillage : faire un enclos de 6 m pour le côté parallèle à la clôture sur 7 m pour les deux côtés perpendiculaires ou un enclos très allongé de 14 mètres de long sur 3 m de large.

Il pourrait aussi faire un côté de 7 m et les deux autres de 6 m avec 19 m de grillage, mais il veut utiliser ses 20 m entièrement.

Notions mathématiques

diviseurs, périmètre, aire, rectangle, contrainte linéaire

Résultats

18.II.14

Résultats obtenus sur 1133 classes de 21 sections ayant participé à l’épreuve II du 18e RMT:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 7	232 (34%)	158 (23%)	247 (36%)	20 (3%)	25 (4%)	682	1.19
Cat 8	111 (25%)	85 (19%)	196 (43%)	32 (7%)	27 (6%)	451	1.51
Total	343 (30%)	243 (21%)	443 (39%)	52 (5%)	52 (5%)	1133	1.32
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères établis sur la base de l'analyse a priori:

4 points: Les deux couples solutions (6 m et deux fois 7 m, ou 14 m et deux fois 3 m), avec une explication claire de la démarche et une recherche exhaustive des possibilités.
3 points: Les deux couples solutions, avec une explication cohérente de la de la procédure suivie.
2 points: Un seul couple de solutions avec une explication cohérente de la procédure suivie.
1 point: Un seul couple de solutions sans explication.
0 point: Incompréhension du problème ou non respect de la contrainte des 20 m.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Au préalable, signalons un obstacle dû à l'interprétation de la figure. Les élèves en déduisent à tort des informations supplémentaires, par exemple que la base doit être plus grande que la hauteur (avec comme conséquence une solution unique au problème) ou bien qu'il y a un rapport entre les côtés, à trouver par des mesures sur la figure.

Il est possible que l'insistance de l’énoncé à se référer à la figure (« voir la figure » répété deux fois) soit liée à cette interprétation. Une autre ambiguïté possible du texte est la forme de la question : « Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse » qui peut faire penser à une solution unique.

Exploitations didactiques

Il est intéressant de comparer ce problème à son homologue Le pré du père François (II). La demande de travailler en nombres entiers, change totalement la tâche et le domaine conceptuel du problème.

Bibliographie

Henry, M. & Rizza, A. Six questions sur la notion de fonction dans les problèmes du RMT, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 8, Brigue 2008. Eds. Lucia Grugnetti & François Jaquet, ARMT, 2009, p. 143-166.

Rizza, A. & Henry, M. Idea di funzione, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 7, Bard (Valle d’Aosta) 2007. Eds. Lucia Grugnetti, François Jaquet, Gianna Bello, Rosanna Fassy, Graziella Telatin, ARMT, 2008, p. 181-198.

Henry, A., Henry M. & Rizza, A. Funzioni per risolvere problemi, La gazzetta di Transalpino, n.1, 2011, http://www.armtint.org/.

Groupe fonction (2014). Le pré du père François (I). Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-fn2-fr.pdf)

Banque de problèmes du RMT