Le spirali di stuzzicadenti (II)

Identificazione

Rally: 29.II.19 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: FN, OPN
Famiglie:

• SF - Studiare successioni di figure
• SN - Gestire una successione numerica
• VS/OA - Contare oggetti nello spazio

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare il quarantanovesimo termine di una successione di numeri $8$, $15$, $24$, $35$, ... (da determinare a partire dal conteggio di elementi organizzati in spirali successive).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Analizzare i disegni delle spirali per identificare il modello sul quale sono costruite: sono inserite in quadrati di lato crescente, ogni spirale si ottiene completando la spirale precedente, ($3$ lati per il quadrato $n$, $2$ lati per il quadrato $n − 1$, $2$ lati per il quadrato $n – 2$, ..., $2$ lati per il quadrato $1$) o, inversamente, partendo dal centro.

- Sommare gli stuzzicadenti di ogni spirale dell’immagine, costruirne eventualmente qualcun’altra per trovare i primi termini della successione e organizzarle progressivamente (vedere gli esempi delle due prime righe della tabella seguente):

- Passare alla modalità numerica e comprendere la logica che permette di completare la tabella senza disegnare le spirali:

• sia osservando che si può passare da un numero al successivo aggiungendo i numeri dispari successivi a partire da $7$ ($3$ª riga). Questo metodo prevede una cinquantina di addizioni successive;
• sia accorgendosi che il numero di stuzzicadenti ($N$) è il prodotto di due numeri che hanno differenza $2$ ($n$ e $n + 2$). Questa è la funzione che permette di passare direttamente dalle dimensioni della spirale al numero di stuzzicadenti;
• sia identificando i quadrati dalla dimensione delle spirali aumentate di $1$ ($n – 1$), $9$, $16$, $25$, $36$, $49$ e scoprendo che il numero degli stuzzicadenti vale $1$ in meno di questi quadrati. Questa funzione permette di passare direttamente dalle dimensioni della spirale al numero degli stuzzicadenti $N = (n + 1)^2 – 1$;
• ...
• (Le formule $(n + 1)^2 – 1 = n (n + 2)$ possono essere ottenute a partire dall’analisi della spirale di lato $n$ ricordata precedentemente, dalla conoscenza della formula che permette di trovare la somma dei $n – 1$ primi numeri naturali e dalle conoscenze algebriche sul calcolo letterale).

Nozioni matematiche

progressione, successione, spirale, somma, numero naturale, funzione, scarto

Risultati

29.II.19

Punti attribuiti su 273 classi di 9 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta ($2 600$ stuzzicadenti) con spiegazioni chiare che comprovino il ragionamento seguito per mostrare che la soluzione trovata è generale o trovata a partire da una congettura basata sullo studio di almeno $5$ spirali.
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazioni parziali o non sufficientemente motivate.
• 2 punti: Risposta errata a causa di un errore di calcolo, ma con identificazione di una regola che permetta di calcolare i termini della successione
  oppure risposta corretta senza spiegazioni.
• 1 punto: Inizio di ricerca coerente (per esempio il disegno della quinta spirale).
• 0 punto: Incomprensione del problema.

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