Machine à calculer

Identification

Rallye: 15.II.10 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: FN
Familles:

• RF - Traiter une relation fonctionnelle
• RF/FR - Etablir une formule de correspondance

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver une fonction valable pour les trois couples objet-image (5 ; 25), (7 ; 31), (10 ; 40), et calculer l’image de 9 par cette fonction (la fonction la plus simple est une fonction affine).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que la touche « smile » fait correspondre une « image » à tout nombre que l’on « entre » dans la machine. Remarquer que la correspondance objet-image n’est pas une simple proportionnalité (25 = 5x5, mais 31 ≠ 7x5).

- Considérer les variations correspondantes entre objets et images à partir des trois exemples donnés : quand la valeur introduite augmente de 2 (de 5 à 7), son image augmente de 6 (de 25 à 31) et quand elle augmente de 3 (de 7 à 10), l’image augmente de 9 (de 31 à 40).

- Conjecturer la stabilité de cette remarque et conclure que pour une entrée égale à 9 (7+2), la calculatrice indiquera 37 (31+6).

- Plus généralement, faire l’hypothèse que chaque fois qu’on augmente de 1 le nombre de l’entrée, la machine augmente de 3 le nombre affiché (« smile » est la fonction affine : 10 + 3x).

L’analyse a priori met en évidence plusieurs procédures relevant plus ou moins explicitement de la notion de fonction suivant les niveaux des élèves :

• 1. Mettre en relation les variations entre objets et images pour observer sur les exemples donnés que chaque fois qu’on augment de 1 le nombre de l’entrée, la machine augmente de 3 le nombre affiché. Faire (implicitement ?) l’hypothèse de la généralité de cette propriété (hypothèse d’une fonction affine) et l’appliquer à la valeur 9.
• 2. Procéder par un tableau de nombres à compléter (une ligne pour les entrées et une pour les images) et y chercher des régularités, en particulier celle évoquée précédemment,

entrées: 5 6 7 8 9 10 images: 25 31 40

Dans ce cas, il suffit de compléter la suite arithmétique 25 ; 28 ; 31 ; 34 ; 37 ; 40 (en vérifiant le 31 au passage et en déterminant le 37 comme image de 9).

• 3. D’un point de vue « fonctionnel », chercher des relations directes entre l’entrée et la sortie : envisager une multiplication, ou une addition, et se rendre compte qu’il faut orienter ses recherches vers une composition de deux « fonctions simples », par exemple d’une multiplication et d’une addition. Une multiplication par 3 fait correspondre 3, 7 et 10 à 15, 21 et 30 qui valent 10 de moins que les images respectives issues de la machine. La « machine à multiplier par 3 puis ajouter 10 » (fonction affine x –> 3x + 10) est donc une hypothèse à accepter pour les trois couples donnés. L’image de 9 serait alors 3 X 9 + 10 = 37.
• 4. Pour les élèves qui ont déjà rencontré des représentations graphiques, utiliser le fait que les trois couples (5 ; 25), (7 ; 31) et (10 ; 40) sont représentés par des points alignés.

Notions mathématiques

fonction, relation fonctionnelle, correspondance objet-image, expression algébrique, algorithme

Résultats

15.II.10

Sur 1093 classes de 12 sections ayant participé à l’épreuve II du 15e RMT,

Selon les critères de l’analyse a priori du problème :

• 4 points: Réponse exacte (37) avec explicitation de la règle trouvée et vérification sur les trois exemples donnés
• 3 points: Réponse exacte avec explications incomplètes (par exemple sans les vérifications des trois exemples donnés)
• 2 points: Réponse exacte sans aucune explication
  ou émission d’une hypothèse, confrontation avec les autres valeurs numériques mais sans calculer l’image de 9
• 1 point: Résultats comme 45 ou 36 ; avec une conjecture émise, explicitée mais non pas vérifiée pour les autres nombres donnés, et appliquée directement au nombre « 9 »
• 0 point: incompréhension du problème, absence de résultat

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le taux de réussite moyenne, en points attribués, est du même ordre en catégories 5 et 6 (2,30 et 2,25) il augmente sensiblement en catégorie 7 (2,75).

La réponse exacte a été trouvée (2, 3 et 4 points) par environ 60% des groupes en catégorie 5 et 6 et par les trois quarts en catégorie 7.

La différence se fait sur les explications et les vérifications.

Il n’y a pas vraiment « d’erreurs » pour les 28 % des groupes ayant obtenu « 0 point » (« incompréhension du problème »). L’obstacle principal est la formulation de l’hypothèse de stabilité de la relation fonctionnelle entre objet et image. Celle-ci révèle implicitement l’appréhension de la notion de fonction, qui ne se manifestera qu’aux niveaux 9 et 10.

Cependant, une approche de cette idée peut se révéler dans la construction d’un tableau de valeurs (ou d’une mise en relation des valeurs entrées et des affichages donnés par la calculatrice) qui respecte une certaine régularité entre les données et les images correspondantes. Un algorithme de calcul peut alors être mis en œuvre.

Différentes procédures ont été observées dans les copies, y compris au niveau 5, sauf pour la représentation graphique, outil non disponible à ce niveau. La variété des stratégies attendues présentées dans l’analyse a priori se retrouve dans l’ensemble des copies que l’on peut assez facilement classer en fonction de ces critères.

Exploitations didactiques

Dans les conditions de passation d’une épreuve du RMT, le problème est à la portée d’une majorité de groupes d’élèves de toutes ces catégories, vu la simplicité des nombres choisis et de la fonction la plus évidente. Sans du tout avoir étudié les fonctions d’un point de vue mathématique, ces groupes font preuve d’une perception déjà bien élaborée du concept : une relation ou un lien entre le nombre qu’on entre dans la calculatrice et le résultat qui en sort. Tout y est : les essais pour trouver le lien, les vérifications, le fonctionnement pour de nouveaux nombres. Peut-on espérer mieux ?

Dans une pratique habituelle de classe, les conditions changent car l’enseignant est là ; il peut organiser des mises en commun, des validations intermédiaires. Il peut même arriver à « faire réussir » le problème en prenant à sa charge des moments clés de la résolution ; mais par de tels effets de contrat didactique, on n’atteindrait pas le but de l’activité, par exemple en demandant explicitement aux élèves de « trouver » une formule donnant les calculs à effectuer pour savoir ce que va afficher la calculatrice quand on tape un nombre.

Il faut atteindre les niveaux 8 à 10 (14 -16 ans) pour s’attendre à ce que la plupart des élèves puissent observer et décrire la régularité des variations sur les trois exemples donnés et les extrapoler aux autres nombres. Cependant la plupart des groupes expriment le « x3 + 10 » qui est tout à fait suffisant pour l’objectif de ce problèmes aux niveaux du RMT. La notion de fonction comme correspondance unique entre des données numériques et l’affichage obtenu sur la calculatrice est alors l’objectif didactique principal de cette activité. Soulignons que la réponse n’est pas unique du point de vue mathématique, elle est même indéterminée. Notons l’usage du conditionnel dans la question « …pourrait afficher sa machine ? » qui fait allusion à cette indétermination, du point de vue de la rigueur. Ainsi, il ne faudrait pas considérer qu’une réponse différente de 37 est « fausse » ou qu’il n’y a qu’une seule fonction qui convienne. Par exemple, la réponse f(9) = – 91 est cohérente avec la fonction polynôme f(n) = n⁴ – 15n³ + n² + 738 n – 2440 pour laquelle 5, 7 et 10 ont pour images 25, 31 et 40.

Pour aller plus loin

Quelques exemples extraits de copies de niveau 5, organisés selon une progression de l’acquisition de la notion de fonction sont donnés dans la monographie citée dans la bibliographie.

Bibliographie

Henry, M. & Rizza, A. Six questions sur la notion de fonction dans les problèmes du RMT, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 8, Brigue 2008. Eds. Lucia Grugnetti & François Jaquet, ARMT, 2009, p. 143-166.

Krysinska, M. & Schneider, M. Émergence de modèles fonctionnels, les éditions de l’Université de Liège, col. Si les mathématiques m’étaient contées, 2010.

Rizza, A. & Henry, M. Idea di funzione, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 7, Bard (Valle d’Aosta) 2007. Eds. Lucia Grugnetti, François Jaquet, Gianna Bello, Rosanna Fassy, Graziella Telatin, ARMT, 2008, p. 181-198.

Groupe fonction (2010). La machine à calculer. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-fn3-fr.pdf)

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