Banque de problèmes du RMT
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Étant donné la suite des 44 premiers entiers naturels disposés en trapèze (sur la première ligne 0, 1, 2, sur la seconde ligne 3, 4, 5, 6, 7), trouver le dernier nombre de la trentième ligne.
Analyse a priori
Domaine arithmétique
Comprendre la règle de construction et éventuellement compléter la sixième ligne, voire la septième. En procédant ainsi, ligne par ligne, on peut arriver au dernier nombre de la 30e ligne (959). Comptage dans N.
Ou : rechercher des régularités pour passer d’un terme au suivant d’une suite choisie qui traverse le trapèze de ligne en ligne (dans une colonne : + 4 ; + 6 ; + 8 ; + 10 ; + 12…) ; trouver le 30ème terme d’une suite dont les premiers termes sont (2, 7, 14, 23, 34,…), les suivants étant déterminés sur la base de la disposition des entiers en forme de trapèze ; parallèlement au côté droit du trapèze : + 5 ; + 7 ; + 9 ; + 11 ; ... ; parallèlement au côté gauche du trapèze : + 3 ; + 5 ; + 7 ; + 9 ; + 11 ; ... et compléter l’alignement un à un des termes de la suite où la régularité a été observée, jusqu’à la 30e ligne. Régularité arithmétique : sommes termes à termes.
Ou : passer à des calculs de sommes de 30 termes issues des régularités observées. Par exemple, le 30e nombre de la colonne centrale est : 1 + 4 + 6 + 8 + … + 60 = 929, puis, comme dans la 30e ligne, il y a 61 nombres, celui du milieu est suivi des 30 entiers suivants. Le dernier nombre de la 30e ligne est donc 929 + 30 = 959. Régularité arithmétique : sommes partielles.
Ou : transformer des sommes de 30 termes en produits. Par exemple, la suite des termes du côté gauche donne comme dernier terme : 2 + 5 + 7 + 9 + ... + 59 + 61 = 2 + (5 + 61) + (7 +59) + (9 + 57) + ... + (31 + 35) + 33 = 2 + 66 + 66 + ... 66 + 33 = 2 + 14 × 66 + 33 = 35 + 924 = 959. Régularité arithmétique : sommes et produits.
Domaine des fonctions (algèbre)
Ou : généraliser l’une ou l’autre des régularités observées précédemment par une procédure fonctionnelle. Par exemple, la plus simple est d’identifier le deuxième nombre de la ligne n par n2 ; ou observer que la colonne du « 2 » contient les nombres de la forme n(n + 1) .... Par exemple, comme le 2e nombre de la ligne n est n2, on peut aller à la 31e ligne, trouver 312 = 961, puis « reculer » de 2 pour arriver au dernier nombre de la 30e ligne : 959. Pour toutes ces procédures, on peut faire appel à des tableaux ou listes organisées. Trouver la fonction (suite) $a_r = f(r) = (r + 1)^2 + 2$ qui met en relation le rang de la ligne avec le dernier nombre de cette ligne, pour r = 30, on obtient ar = 959. Régularité algébrique, élaboration et utilisation d’une formule.
Domaine arithmétique et géométrie
Ou : calculer l’aire du trapèze avec pour petite base la première ligne constituée de 3 nombres et pour grande base la trentième ligne constituée de 61 (= 2 x 30 + 1) nombres et pour hauteur 30 lignes. Ainsi on obtient (3 + 61) x 30/2 = 960. il faut enfin enlever 1 puisque le comptage part de 0. Formule de l’aire du trapèze.
Ou bien, si on transforme le trapèze en triangle en ajoutant une case comme première ligne, on obtient la configuration des nombres figurés triangulaires de n + 1 lignes, avec une ligne de plus que pour le trapèze. Les nombres situés à la fin des lignes sont les carrés des entiers successifs. Le nombre des cases sera donc 31 x 31 = 961. En éliminant la case ajoutée et celle contenant le zéro on obtient 959 dans la dernière case. Nombres figurés.
Domaine des fonctions
Ou bien développer un algorithme opérant en même temps sur la ligne et sur la somme des nombres. Partir de l’effectif Rn des nombres de la ligne n donnée : Rn = Rn-1 + 2. Le dernier nombre Sn de la ligne n est obtenu comme somme des nombres du trapèze jusqu’à la ligne n – 1 plus Rn :
Sn = Sn-1 + Rn avec S0 = –1, S1 = 2 (S1 = S0 + R1 = –1 + 3 = 2), S2 = 7,…
Suite définie par récurrence
nombres figurés, régularité arithmétique, régularité algébrique, suites numériques, fonctions
Points attribués sur 2043 classes sur YY sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 440 (50%) | 169 (19%) | 77 (9%) | 116 (13%) | 70 (8%) | 872 | 1.09 |
| Cat 7 | 210 (30%) | 120 (17%) | 91 (13%) | 144 (20%) | 144 (20%) | 709 | 1.85 |
| Cat 8 | 91 (20%) | 75 (16%) | 50 (11%) | 93 (20%) | 153 (33%) | 462 | 2.31 |
| Cat 9 | 27 (19%) | 20 (14%) | 9 (6%) | 33 (23%) | 55 (38%) | 144 | 2.48 |
| Cat 10 | 16 (15%) | 12 (11%) | 9 (8%) | 14 (13%) | 58 (53%) | 109 | 2.79 |
| Total | 784 (34%) | 396 (17%) | 236 (10%) | 400 (17%) | 480 (21%) | 2296 | 1.74 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
La moyenne des points attribués par catégories (sur 2296 classes) augmente sensiblement de la catégorie 6 à la catégorie 10 dont le succès est quasi total.
Nous avons fait les remarques suivantes sur l’attribution des points :
Les « 0 pt » (34% du total des copies, de 51% à 15% de la catégorie 6 à la catégorie 10)
Cette « incompréhension du problème » se manifeste surtout, par des procédures faisant appel à la linéarité du genre : on remplit le trapèze jusqu’au dernier nombre de la dixième ligne puis on multiplie par 3 pour trouver le dernier nombre de la trentième ligne.
Ces procédures linéaires ne se rencontrent pas en catégorie 8, on en dénombre 10% en catégorie 7 et près de 20% en catégorie 6.
Autres symptômes d’incompréhension rencontrés en catégorie 6 : des multiplications dont l’un des facteurs est le nombre total de lignes (30) ou du nombre de lignes encore à compléter (24) comme 1128 = 47 x 24, 900 = 30 x 30 ...
Les « 1 pt » (17% du total des copies, stable, de 17% à 11% de la catégorie 6 à la catégorie 10)
Ces « 1 pt » ont été attribués aux copies qui présentent une succession régulière de nombres alignés dans le trapèze (en général sur le bord droit ou, moins souvent, dans la colonne commençant par 0) et qui ont constaté et écrit explicitement la « constance (2) des écarts des écarts » successifs. Par exemple, les derniers nombres des lignes sont 2, 7, 14, 23, 34, ..., les écarts successifs sont 5, 7, 9, 11, et les écarts de cette dernière suite sont constants : 2.
La constante 2 se retrouve aussi comme différence entre les nombres de termes par ligne : 3, 5, 7, 9, ... dont il s’agit de calculer les totaux partiels jusqu’à la 30e ligne.
Malgré des explications parfois claires sur la procédure à suivre, par perception de la régularité, les groupes d’élèves ayant reçu « 1 pt » n’ont pas été capables de conduire les calculs très loin. Ils savent quelle addition effectuer mais ne peuvent aboutir en raison du nombre élevé de termes et car ils ne savent pas où s’arrêter.
Les « 2 pts » (10% du total des copies, stabilité d’une catégorie à l’autre)
Les « 2 points » ont été attribués aux procédures bien explicites et bien engagées mais comprenant deux ou trois erreurs, de calcul ou de détermination de la dernière ligne ou du dernier nombre de la ligne.
Par exemple, dans la construction du trapèze, au-delà des dix premières lignes, une première erreur peut apparaître en vérifiant si le deuxième nombre de la ligne est un carré. Au cas où l’on décèle une première erreur, en général d’une unité, celle-ci peut se reporter sur les lignes suivantes mais aussi être « aggravée » d’une deuxième ou d’une troisième inattention.
Les « 3 pts » et « 4 pts » (38% du total des copies)
L’explication figure dans toutes les copies ayant reçu de 1 à 4 points et c’est en fait plutôt « l’efficacité dans les calculs » qui a été mesurée pour ce problème de Monsieur Trapèze,
Parmi les « 3 pts », il faut relever les procédures correspondant à la seconde alternative du critère : ou une démarche clairement exprimée mais avec une seule erreur de calcul (addition, confusion avec la ligne précédente ou suivante ... ).
Cette « seule erreur » peut être la confusion entre « nombre de nombres » du trapèze sur les 30 premières lignes et « dernier nombre de la 30e ligne » qui diffèrent de 1 car la numérotation commence à 0 et non à 1. Dans ce cas la réponse est 960.
Elle peut aussi être 1022 (31e ligne) ou 898 (29e ligne) correspondant à une erreur de comptage des lignes.
Lorsque tous les calculs sont présentés, il peut encore s’agir d’une seule erreur dans les additions successives.
Le dernier cas concerne une interprétation erronée de l’énoncé consistant à penser que M. Trapèze va encore écrire 30 lignes après la sixième alors qu’il s’agit de 30 lignes en tout (y compris les six premières après lesquelles il a fait une pause).
Sur les différentes procédures :
A. Méthode « pas à pas »
Comme le prévoyait l’analyse a priori du problème, il y a eu quelques tentatives de compléter le trapèze jusqu’à la 30e ligne, tentatives qui ont toutes échoué en raison des dimensions du tableau. En effet les difficultés de la méthode « un à un » arrivent vers la dixième ligne, là où les nombres ont trois chiffres.
Cette procédure qui paraît « primitive » à première vue, exigerait en réalité une maîtrise préalable des dimensions du trapèze complété et des contrôles réguliers au cours du remplissage car écrire les nombres de 0 à 959 sans en oublier un est une tâche très exigeante en attention.
Dans les copies d’élèves, les procédures « pas à pas » ne vont en général que jusqu’à la sixième ligne dont il suffit de compléter les trois derniers termes, ou et rarement au-delà de la dixième ligne.
B. Prise en compte de régularités de la suite des derniers nombres des lignes (sur le côté droit du trapèze)
Cette procédure était mentionnée dans l’analyse a priori (§2) mais sans présager qu’elle serait très majoritaire. Sa fréquence est estimée à 60% des cas où une régularité a été observée.
C’est a posteriori que l’on se rend compte de son évidence ;
- les élèves savent que le nombre cherché sera sur la trentième ligne du trapèze, à droite et que le « chemin » le plus naturel pour s’y rendre est de suivre le côté droit, de la zone connue, en haut, vers le bas
- les cinq premiers nombres du côté droit sont donnés et le sixième est facile à déterminer
termes : 2 7 14 23 34 47 ...
- en observant les écarts successifs entre ces nombres, on constate qu’il s’agit de la suite des nombres impairs à partir de 5 dont la raison (2) est évidente :
termes : 2 7 14 23 34 47 ... écarts : 5 7 9 11 13 15 ...
- il suffit alors d’imaginer que la régularité se poursuivra et de procéder par additions successives de nombres impairs : 47 + 15 = 62 ; 62 + 17 = 79 ; 79 + 19 = 98 ; ...
Les copies ne sont en général pas explicites à ce propos, On imagine que, parfois, les lignes sont comptées au fur à mesure de l’écriture des termes, calculés à la calculatrice par l’addition des nombres impairs successifs. Dans quelques cas le dernier nombre à additionner, 61, semble avoir été déterminé à l’avance, comme 30e nombre impair à partir de 3.
Une autre difficulté de la procédure, comme de toutes celles qui reconstituent une suite de nombres, est le contrôle des résultats, qui demande une attention permanente. Nous ne pouvons pas savoir par les copies comment ce contrôle a été exercé ; nous savons seulement que, globalement, la réponse 959 a été obtenue par 18% des groupes (« 4 pts »), que 12% ont commis une seule erreur (« 3 pts »), et 10% de deux à trois erreurs (« 2 pts »).
C. Prise en compte de régularités dans la suite des nombres de la colonne 0, 4, 10, 18, ...
La procédure est la même que précédemment, avec une difficulté supplémentaire : arrivé à la ligne 30, il faut encore la suivre jusqu’à son extrémité à droite. Cette procédure figure aussi dans l’analyse a priori (2e §). Nous ne l’avons observée que dans trois copies, une seule ayant abouti à la réponse 959.
D. Autres procédures par suites de nombres
On peut s’attendre à ce que des élèves remarquent la suite des carrés 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ... de la deuxième ligne en oblique depuis la gauche. Elle n’a été observée qu’une seule fois et a conduit à une procédure fonctionnelle.
C’est manifestement la plus simple des procédures qui, sous forme rhétorique, s’exprime par « calculer le carré du nombre qui indique la ligne suivante et soustraire 2 » et sous forme algébrique par « f : n ––––> f(n) = (n + 1)2 – 2 où n est le rang de la ligne, n élément de N ».
E. Calcul des nombres de termes par ligne
Cette procédure n’a pas été envisagée par l’analyse a priori, elle est cependant assez fréquente. On estime qu’elle a été choisie dans 30% des cas où les élèves ont cherché à poursuivre des régularités.
Elle repose sur un constat assez évident, a posteriori : le dernier nombre de la trentième ligne est en relation étroite avec le nombre total de termes puisqu’il s’agit de la liste des nombres naturels ! Qu’ils soient disposés « en trapèze » ou en ligne n’a pas d’importance. Cette « relation étroite » est simple : le dernier nombre vaut un de moins que le nombre de termes, puisque la suite des nombres naturels commence par 0.
Dans cette conception du « dernier nombre d’une ligne », il suffit de compter les nombres de chaque ligne : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ... et/ou de constater qu’il y a à chaque ligne deux termes de plus qu’à la ligne précédente pour se convaincre que le nombre total des termes sera la somme des 30 nombres impairs à partir de 3.
Les sommes successives conduisent ici à 960, termes dans le tableau de 30 lignes, dont il faut enlever 1 pour arriver au dernier terme de la 30e ligne : 959.
F. procédures par transformations de sommes en produits
L’analyse a priori (§4) proposait : « Ou : transformer des sommes de 30 termes en produits. Par exemple, la suite des termes du côté gauche donne comme dernier terme :
2 + 5 + 7 + 9 + ... + 59 + 61 = 2 + (5 + 61) + (7 +59) + (9 + 57) + ... + (31 + 35) + 33 = 2 + 66 + 66 + ... 66 + 33 = 2 + 14 × 66 + 33 = 35 + 924 = 959. »
Aucune trace d’une telle transformation n’a été trouvée dans les 271 copies examinées !
On peut se demander alors pourquoi les élèves ne voient pas la simplification d’une telle transformation de somme en produit et pourquoi ils se lancent dans une trentaine d’additions successives avec un risque très élevé d’erreur ?
Nous ne pouvons qu’esquisser quelques hypothèses :
G. procédures fonctionnelles
On arrive ici à la problématique de la construction du concept de fonction.
La récolte est fort modeste ici : quatre copies font état d’un lien direct entre le numéro de la ligne et son dernier nombre. La carence de procédures fonctionnelle est assez surprenante. On peut se demander pourquoi un seul groupe a remarqué la suite des carrés et en a tiré immédiatement que le nombre cherché vaut 2 de moins que 961 = 312 ?
Est-ce dû au fait que la variable n’apparaît pas clairement dans la situation ?
Si l’on présentait explicitement la recherche sous forme d’une « machine » :
nombre à l’entrée: 1 2 3 4 ... 6 7 ... 9 ... 30 nombre à la sortie: 2 7 14 23 ... 47 62 ... 98 ... ?
La recherche de la fonction ne s’organiserait-elle pas plus facilement, l’élève sachant qu’il doit trouver « l’image de 30 » ?
Nous avons trouvé à quatre reprises une procédure que l’on pourrait qualifier de « fonctionnelle » avec quelques réserves toutefois : les élèves considèrent le trapèze au sens propre de la figure géométrique et non au sens figuré de la disposition des nombres et calculent son aire à l’aide de la formule « base moyenne x hauteur » ou (b + B)h / 2. Cette procédure fonctionne dans le cas précis de la disposition de M. Trapèze :
Nous avons remarqué qu'en appliquant la formule de l'aire du trapèze (b + B) x h/2, on obtient toujours le nombre suivant le dernier nombre de la grande base du trapèze. Ainsi nous avons trouvé le trente et unième nombre impair (car nous avons remarqué que le nombre des nombres de chaque ligne est égal au nombre impair qui parmi les nombres impairs est le nombre suivant le numéro de la ligne, par exemple pour la première ligne, le second nombre impair donc trois nombres) qui est 61 donc nous avons fait l’opération suivante : (61 + 3) x 30 / 2 = 960, puis 960 – 1 = 959.
Michel Henry, Angela Rizza (2016). Les nombres de Monsieur Trapèze. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-fn5-fr.pdf)
(c) ARMT, 2010-2024