Banca di problemi del RMT
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Data la successione dei primi 44 numeri naturali disposti a trapezio (nella prima riga 0, 1, 2, nella seconda riga 3,4,5, 6, 7) trovare l’ultimo numero della trentesima riga.
Ambito aritmetico
- Comprendere la regola di costruzione ed eventualmente completare la sesta riga e vedere la settima. (Procedendo così di riga in riga e armandosi di pazienza si arriva all’ultimo numero della 30-esima riga (959), probabilmente con alcuni errori). Conteggio in N.
- Oppure: ricercare delle regolarità tra i termini successivi di una successione che attraversa il trapezio dall’alto verso il basso (in una colonna: + 4 ; + 6 ; + 8 ; + 10 ; + 12 ; ... ; parallelamente al lato destro del trapezio: + 5 ; + 7 ; + 9 ; + 11 ; ... ; parallelamente al lato sinistro del trapezio: + 3 ; + 5 ; + 7 ; + 9 ; + 11; ... ) e completare l’allineamento dove è stata osservata la regolarità inserendo a uno a uno i termini mancanti fino alla 30-esima riga. (questa procedura è ancora ripetitiva e soggetta a errori o disattenzioni.) Regolarità aritmetiche, somme termine a termine.
- Oppure: calcolare somme di 30 termini in base alle regolarità osservate. Ad esempio, il 30-esimo numero della colonna centrale è: 1 + 4 + 6 + 8 + … + 60 = 929, quindi, poiché nella 30-esima riga ci sono 61 numeri, il numero centrale è seguito da 30 interi successivi. L’ultimo numero della 30-esima riga è dunque 929 + 30 = 959. Regolarità aritmetiche, somme parziali.
- Oppure: trasformare in prodotti somme di 30 termini. Ad esempio, la successione dei termini del lato sinistro dà come ultimo termine: 2 + 5 + 7 + 9 + ... + 59 + 61 = 2 + (5 + 61) + (7 +59) + (9 + 57) + ... + (31 + 35) + 33 = 2 + 66 + 66 + ... 66 + 33 = 2 + 14 × 66 + 33 = 35 + 924 = 959. Regolarità aritmetiche, somme e prodotti.
Ambito: funzioni (algebra)
- Oppure: generalizzare una delle regolarità osservate precedentemente, per mezzo di una procedura funzionale. Ad esempio, la più semplice è identificare il secondo termine della riga n con n2; o osservare che la colonna del « 2 » contiene i numeri della forma n(n + 1). Ad esempio, poiché il secondo termine della riga n è n2 si può andare alla 31-esima riga, trovare 312 = 961, poi retrocedere di 2 per ottenere 959. Per tutte queste procedure, si può fare ricorso a tabelle o liste organizzate. Regolarità, generalizzazione.
Ambito: aritmetica (geometria)
- Oppure calcolare l’area del trapezio con base minore la prima riga costituita da 3 numeri, con base maggiore la trentesima riga costituita da 61(= 2 * 30 + 1) numeri e altezza 30 righe. Per cui si ottiene (3+61)*30/2= 960 occorre infine togliere 1 in quanto la numerazione parte da 0. Formula area trapezio.
- Oppure se si trasforma il trapezio in un triangolo aggiungendo un oggetto come prima riga, si ottiene la configurazione dei numeri figurati quadrati di n+1 righe, una in più rispetto al trapezio; per cui il numero degli oggetti sarà 31*31 = 961. Eliminando l’oggetto aggiunto e quello con lo zero si ottiene il valore 959. Numeri figurati.
Ambito: funzioni
- Oppure sviluppare un algoritmo operando contemporaneamente sulla riga e sulla somma dei numeri. Si parte dalla descrizione dei numeri della riga dati da Rn = R(n-1)+2. Questi vengono collegati al numero finale ottenuto come somma Sn = S(n-1) +Rn con S0 = -1, S1= 2 : S1 = S0 + R1 = -1 +3 = 2, S2=7. Successioni definite per ricorsività.
funzioni, successioni, regolarità aritmetiche, regolarità geometriche
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 440 (50%) | 169 (19%) | 77 (9%) | 116 (13%) | 70 (8%) | 872 | 1.09 |
| Cat 7 | 210 (30%) | 120 (17%) | 91 (13%) | 144 (20%) | 144 (20%) | 709 | 1.85 |
| Cat 8 | 91 (20%) | 75 (16%) | 50 (11%) | 93 (20%) | 153 (33%) | 462 | 2.31 |
| Cat 9 | 27 (19%) | 20 (14%) | 9 (6%) | 33 (23%) | 55 (38%) | 144 | 2.48 |
| Cat 10 | 16 (15%) | 12 (11%) | 9 (8%) | 14 (13%) | 58 (53%) | 109 | 2.79 |
| Totale | 784 (34%) | 396 (17%) | 236 (10%) | 400 (17%) | 480 (21%) | 2296 | 1.74 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
La media sui 2296 compiti aumenta sensibilmente dalla categoria 6 alla categoria 10 dove il successo è quasi-totale
Per le quattro sezioni FC, SR, PR e CA di cui i compiti sono stati esaminati, si possono dare le seguenti informazioni sull’attribuzione dei punti :
I « 0 punti » ( 34% del totale delle categorie, dal 51% al 15% dalla categoria 6 alla categoria 10)
Questa « incomprensione del problema » si manifesta soprattutto attraverso procedimenti che fanno appello alla linearità del genere : abbiamo riempito il trapezio fino all’ultimo numero della decima linea poi si moltiplica per 3 per trovare l’ultimo numero della tredicesima linea.
Queste procedure lineari non si incontrano nella categoria 8, se ne contano il 10% nella categoria 7 e quasi il 20% nella categoria 6.
Altri sintomi di incomprensione incontrati in categoria 6 : delle moltiplicazioni di cui uno dei fattori è il numero totale delle linee ( 30) o il numero delle linee ancora da completare (24) come 1128 = 47 x 24, 900 = 30 x 30….
I « 1 punti » ( 17% del totale dei compiti, stabile, dal 17% all’11% dalla categoria 6 alla categoria 10)
Questo « 1 punto » ai compiti che presentano una regolare successione di numeri allineati nel trapezio ( in generale sul bordo destro o, meno spesso, nella colonna che comincia per 0) e che hanno constatato e scritto esplicitamente la « costanza ( 2) degli scarti » successivi. Per esempio gli ultimi numeri delle linee sono 2, 7, 14, 23, 34, ..., gli scarti successivi sono 5, 7, 9, 11, e gli scarti di quest’ultima sequenza sono costanti : 2.
La costante 2 si ritrova anche come differenza tra i numeri di termini per linea : 3, 5, 7, 9 di cui si tratta di calcolare i totali parziali fino alla 30ma linea.
Malgrado le spiegazioni a volte chiare sulla procedura da seguire, attraverso la percezione della regolarità, i gruppi di allievi che hanno ricevuto « 1 punto » non sono stati capaci di gestire i calcoli per molto, sanno quale addizione effettuare ma non possono arrivare alla soluzione corretta per il numero elevato di termini perché non sanno dove fermarsi.
I « 2 punti » ( 10 % del totale dei compiti, stabile da una categoria all’altra)
I « 2 punti » : alle procedure molto esplicite ed abbastanza intraprese ma comprendenti due o tre errori, di calcolo o di determinazione dell’ultima linea o dell’ultimo numero della linea.
Per esempio, nella costruzione del trapezio, oltre le prime 10 linee, un primo errore può apparire verificando se il secondo numero della linea è un quadrato. Nel caso in cui si scopre un primo errore, in generale di una unità, questo può ritornare sulle linee seguenti ma anche essere « aggravato » di una seconda o di una terza disattenzione.
I « 3 punti » e « 4 punti » (38 % del totale dei compiti )
La spiegazione figura d’altronde in tutti i compiti che hanno ricevuto da 1 a 4 punti ed è in effetti « piuttosto la capacità di calcolo » che è stata misurata per questo problema Il signor Trapezio.
Tra i « 3 punti » bisogna rilevare le procedure corrispondenti alla seconda alternativa del criterio : o un procedimento chiaramente espresso ma con un solo errore di calcolo ( addizione, confusione con la linea precedente o seguente….).
Questo « solo errore » può essere la confusione tra « numero di numeri » del trapezio sulle 30 prime linee e « l’ultimo numero della 30ma linea » che differiscono di 1 perchè la numerazione comincia da 0 e non da 1. In questo caso la risposta è 960
Essa può essere anche 1022 ( 31ma linea) o 898 (29ma linea) corrispondente ad un errore di conteggio delle linee.
Nel momento in cui tutti i calcoli sono presentati, può ancora trattarsi di un sol errore nelle addizioni successive.
L’ultimo caso concerne un’interpretazione erronea dell’enunciato consistente nel pensare che il S. Trapezio scriverà ancora 30 linee dopo la sesta mentre si tratta di 30 linee in tutto ( ivi compreso le prime 6 dopo le quali ha fatto una pausa).
A. Metodo « passo dopo passo » Regola di costruzione
Come l’analisi a priori del problema prevedeva, ci sono stati alcuni tentativi di completare il triangolo fino alla 30ma riga, tentativi che sono tutti falliti a causa della dimensione della tabella. In effetti la difficoltà del metodo « uno a uno » arrivano verso la decima linea, là dove i numeri hanno tre cifre.
Questo procedimento che, a prima vista, sembrerebbe « primitivo », esigerebbe, in realtà. Una dominanza preliminare delle dimensioni del trapezio completato e controlli regolari nel corso del riempimento perché scrivere i numeri da 0 a 959 senza dimenticarne un è un compito che esige molta attenzione.
Nei compiti degli allievi le procedure « passo dopo passo vanno, in generale, solo fino alla sesta linea di cui è sufficiente completare gli ultimi tre termini, o è raramente al di là della decima linea.
B. Presa in considerazione delle regolarità della successione degli ultimi numeri delle linee ( sul lato destro del trapezio) Ricercare regolarità
Questa procedura era menzionata nall’analisi a priori ( & 2) ma senza presagire che sarebbe stata molto maggioritaria. La sua frequenza è stimata al 60% dei casi dove è stata osservata una regolarità.
E’ a posteriori che ci si rende conto della sua evidenza ;
- Gli allievi sanno che il numero cercato sarà sulla trentesima riga del trapezio, a destra e che il « cammino » più naturale per andarvi è di seguire il lato destro, della zona conosciuta, in alto, verso il basso
- I primi cinque numeri del lato destro sono dati ed il sesto è facile da determinare.
Termini: 2 7 14 23 34 47 Scarti: 5 7 9 11 13 15
- E’ sufficiente allora che la regolarità prosegua e procedere mediante addizioni successive di numeri dispari:
47 + 15 = 62; 62 + 17 = 79; 79 + 19 = 98 ; ...
I compiti, in generale non sono espliciti a questo riguardo. Si immagina che,qualche volta le linee siano contate man mano che si scrivono i termini calcolati alla calcolatrice addizionando i successivi numeri dispari . In alcuni casi l’ultimo numero da addizionare 61 sembra essere stato determinato in anticipo come 30mo numero dispari a partire da 3.
Un’altra difficoltà del procedimento, come tutte quelle che ricostituiscono una serie di numeri, è il controllo dei risultati che richiedono un’attenzione permanente. Non possiamo sapere attraverso i compiti come questo controllo sia stato esercitato ; sappiamo solamente che, globalmente, la risposta 959 è stata ottenuta dal 18% dei gruppi (« 4 punti »), che il 12% hanno commesso un solo errore (« 3 punti » ) , ed il 10% da due a tre errori (« 2punti »).
C. Presa in considerazione della regolarità
Nella serie dei numeri della colonna 0,4,10,18 la procedura è la stessa di prima, con una difficoltà supplementare: arrivati alla linea 30 bisogna ancora seguirla fino alla sua estremità a destra. Questa procedura figura anche nell’analisi a priori ( secondo &). Noi l’abbiamo osservata solo in tre compiti di cui uno solo è arrivato alla risposta 959.
D. Altre procedure per successioni di numeri
Ci si attenderebbe che gli allievi notassero la serie dei quadrati 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ...della seconda linea. In obliquo dopo la sinistra. Essa è stata notata una sola volta ed ha condotto ad un procedimento funzionale.
E’ manifestamente la più semplice delle procedure che, in forma retorica, si esprime attraverso “calcolare il quadrato del numero che indica la linea seguente e sottrarne 2” e sotto forma algebrica attraverso “ f : n ––––> f(n) = (n + 1)2 - 2 dove n è il rango della linea, n ε N ”.
E. Calcolo dei numeri di termini per linea
Questa procedura non è stata considerata dall’analisi a priori, essa è comunque molto frequente. Si stima che sia stata scelta nel 30% dei casi dove gli allievi hanno cercato di perseguire delle regolarità.
Essa si basa su una constatazione assai evidente a posteriori : l’ultimo numero della 30ma linea è in relazione stretta con il numero totale di termini perché si tratta della lista dei numeri naturali ! Che essi siano disposti « in trapezio » o in linea non ha alcuna importanza. Questa « relazione stretta » è semplice : l’ultimo numero vale uno in meno rispetto al numero dei termini perché la serie dei numeri naturali inizia con 0
In questa concezione dell’ « ultimo numero di una linea » è sufficiente contare i numeri di ogni linea: 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ... e/o di constatare che in ogni linea vi sono due termini in più della linea precedente per convincersi che il numero totale dei termini sarà la somma dei 30 numeri dispari a partire da 3.
Le somme successive conducono quì a 960, termini nella tabella di 30 linee, a cui bisogna sottrarre 1 per arrivare all’ultimo termine della 30ma linea : 959
F. Procedure per trasformazioni di somme in prodotti
L’analisi a priori proponeva: « O : trasformare delle somme di 30 termini in prodotti. Per esempio la somma dei termini del lato sinistro dà come ultimo termine :
2 + 5 + 7 + 9 + ... + 59 + 61 = 2 + (5 + 61) + (7 +59) + (9 +57) + ... + (31 + 35) + 33 = 2 + 66 + 66 + ... 66 + 33 = 2 + 14 × 66 + 33 = 35 + 924 = 959. »
Nessuna traccia di questa trasformazione è stata trovata nei 271 compiti esaminai !!!
Ci si può domandare allora perché gli allievi non vedono la semplificazione di una tale trasformazione di somma in prodotto e perché si lanciano in una trentina di addizioni successive con un rischio molto elevato di errore ?
Noi non possiamo che abbozzare qualche ipotesi :
G. Procedure funzionali
Si arriva qui alla problematica della costruzione del concetto di funzione.
La raccolta qui è molto modesta : quattro compiti (su 400 esaminati) considerano il legame diretto tra il numero della linea ed il suo ultimo numero.
La carenza di procedure funzionali è assai sorprendente. Ci si può domandare perché un solo gruppo ha notato la successione dei quadrati e ne ha dedotto immediatamente che il numero cercato vale due di meno rispetto a 961 = 312 ? che si trova in seconda posizione della linea 31
E’ dovuto al fatto che la variabile non appare chiaramente nella situazione ?
Se si presentasse esplicitamente la ricerca sotto forma di una « macchina » :
(valori) numeri in ingresso: 1 2 3 4 ... 6 7 ... 9 ... 30 (valori) numeri in uscita: 2 7 14 23 ... 47 62 ... 98 ... ?
Uno potrebbe chiedersi: sarebbe più facile per l’allievo sapere che deve trovare "l'immagine di 30"?
Negli elaborati abbiamo trovato per quattro volte una procedura che potrebbe essere descritta come "funzionale", però con qualche riserva: gli studenti vedono il trapezio come se fosse una figura geometrica e non come disposizione di numeri e calcolano la sua area in utilizzando la formula: (B + b) * h / 2.
Questa procedura funziona nel caso della disposizione del Sig Trapezio:
“Abbiamo notato che, applicando la formula per l'area del trapezio (b + B) x h / 2, otteniamo sempre il numero che segue l'ultimo numero della grande base del trapezio.
Così abbiamo trovato il trentunesimo numero dispari (infatti abbiamo notato che il numero dei numeri in ogni riga è uguale al numero che, tra i numeri dispari, è il numero dopo il numero di riga, ad esempio per il primo numero di riga il secondo numero dispari...) è 61 e quindi abbiamo fatto la seguente operazione: (61 + 3) x 30/2 = 960 e 960-1 = 959”.
Michel Henry, Angela Rizza (2016). I numeri del signor Trapezio. Etude ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/etude-fn5-it.pdf)
(c) ARMT, 2010-2024