PRG – Traiter des progressions

Cette famille concerne les problèmes où interviennent des suites de nombres régulièrement espacés qu'il s'agit de définir ou compléter en fonctions de contraintes données (somme des termes, ...).

Un grand nombre concerne des suites de nombres consécutifs, comme les nombres triangulaire, les nombres trapézoïdaux, etc. La tâche est en général de profiter de la régularité de ces suites partielles pour en déterminer la somme plus facilement.

Remarque et suggestion

Problemi

Il nastro di numeri (ral. 05.II.03 ; cat. 3-4 ; 05rmtii_it-3): Retirer deux nombres de la suite de 1 à 9 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de ruban à découper.

Le monete d'oro di Aladino (ral. 06.II.03 ; cat. 3-4 ; 06rmtii_it-3): Dans la suite des sommes des premiers nombres naturels (nombres triangulaires), trouver le rang du premier terme supérieur à 62, dans un contexte de pièces d’or accumulées, une de plus chaque jour.

Labirinto (ral. 06.F.10 ; cat. 6-8 ; 06rmtf_it-10): Trouver le premier terme d’une progression arithmétique de raison 1, dont la somme des huit premiers termes est à rechercher par un dénombrement de cases d’un chemin sur quadrillage.

Il torneo de ping-pong (ral. 07.I.07 ; cat. 4-5 ; 07rmti_it-7): Dans un tournoi avec 64 inscrits déterminer le nombres de parties jouées par un demi-finaliste, le nombre de parties jouées en tout et le nom du vainqueur connaissant les demi-finalistes.

La successione più lunga (ral. 08.I.17 ; cat. 7-8 ; 08rmti_it-17): Choisir un deuxième nombre après le premier nombre 2000 de telle manière que la suite construite par la relation: "nième nombre = différence entre le n-2ième nombre et le n-1ième nombre" soit décroissante la plus longue possible.

Le maglie del rally (ral. 08.F.07 ; cat. 3-4 ; 08rmtf_it-7): Retirer quatre nombres de la suite de 1 à 11 de manière à laisser deux parties de nombres consécutifs de même somme. Dans un contexte de maillots volés d’une équipe de football.

Sempre la metà (ral. 08.F.12 ; cat. 6-8 ; 08rmtf_it-12): Trovare il numero delle cifre che formano il quindicesimo e il duecentesimo numero di una progressione geometrica che ha ragione 1/2 e primo termine 1024.

La Ferrari (ral. 08.F.16 ; cat. 8-8 ; 08rmtf_it-16): Confrontare le somme dei termini di due progressioni: l’una geometrica di ragione 1/2 con 50 000 come primo termine; l’altra di tipo armonico con primo termine 30 000 per determinare se raggiungeranno 100 000.

Le caramelle di Carletto (ral. 09.I.01 ; cat. 3-4 ; 09rmti_it-1): Déterminer les trois termes d'une progression géométrique de raison 2 si leur somme est 28.

Chi ha preso piu' cioccolatini ? (ral. 09.I.05 ; cat. 3-5 ; 09rmti_it-5): Déterminer la somme des six premiers termes d'une progression arithmétique de premier terme et de raison 2 (donnée par ses trois premiers termes) et de la progression "complémentaire" de premier terme 1, de raison 2.

La piramide (ral. 09.I.16 ; cat. 7-8 ; 09rmti_it-16): Parmi les progressions arithmétiques de premier terme 2n-1, de raison 2 et de longueur n, déterminer celle dont la somme vaut 29791.

La collezione di Leo (ral. 09.II.02 ; cat. 3-4 ; 09rmtii_it-2): Déterminer le nombre de termes d'une série géométrique de premier terme et de raison 1 dont la somme vaut 91.

La collezione di Leo (ral. 09.II.13 ; cat. 6-8 ; 09rmtii_it-13): Déterminer le nombre de termes d'une série géométrique de premier terme et de raison 1 dont la somme (sauf le 15e terme) vaut 2001.

Doppia scala (ral. 10.I.07 ; cat. 4-6 ; 10rmti_it-7): Déterminer le nombre de cubes de 5 cm d'arête utilisés pour construire un double escalier de 1 mètre de haut.

Premiazione (ral. 10.I.15 ; cat. 7-8 ; 10rmti_it-15): Déterminer les nombre de termes, et calculer la valeur du dernier, d'une progression arithmétique de premier terme et de raison 2 dont la somme vaut 77.

Corsa ad ostacoli (ral. 11.II.02 ; cat. 3-4 ; 11rmtii_it-2): Trouver le premier terme impair d'une suite géométrique de raison 2 aboutissant à 80.

Un quotidiano (ral. 11.II.13 ; cat. 6-8 ; 11rmtii_it-13): Déterminer le nombre de pages d'un quotidien formé d’un seul cahier, dans lequel 11 pages sont consacrées au sport et où les pages 20 et 45 se trouvent sur la même face d’une feuille.

Il nastro di Maria (ral. 11.F.02 ; cat. 3-4 ; 11rmtf_it-2): Rechercher les suites de nombres naturels consécutifs dont la somme est 45.

Il nastro di Noe (ral. 11.F.08 ; cat. 5-6 ; 11rmtf_it-8): Rechercher les nombres naturels consécutifs dont la somme est 105. Contexte : « ruban des nombres » ou « suite des nombres naturels », avec exemple : 34, 35, 36.

I fiori davanti alla scuola (ral. 12.II.06 ; cat. 4-6 ; 12rmtii_it-6): Terminer une progression arithmétique (premier terme 2, raison 3) et une progression arithmétique double (premier terme 3, raison de premier terme 4 et de raison 4) et calculer les sommes de sept termes.

I numeri di Clara (ral. 12.F.14 ; cat. 6-8 ; 12rmtf_it-14): Déterminer le nombre de chiffres après la virgule et quels sont les 4 derniers du vingtième terme d'une suite géométrique de premier terme 96 et de raison 1/2.

Il pendolo (ral. 13.I.08 ; cat. 5-6 ; 13rmti_it-8): Compter le nombre de coups sonnés par une horloge durant un jour à raison d'un coup à la demi et le nombre de coup indiqué par la petite aiguille à l'heure.

Il ventaglio di Giulia (ral. 14.I.02 ; cat. 3-4 ; 14rmti_it-2): Trovare il 20° termine dela progressione aritmetica del primo termine 3 e il motivo 2. Trovare la somma dei 20 primi termini di questa progressione aritmetica (somma di numeri dispari tra 3 e 41). Contesto di stelle che decorano un fan.

Il ciclista (ral. 15.I.06 ; cat. 4-6 ; 15rmti_it-6): Déterminer le premier terme d'une série arithmétique de 5 termes, de progression 6 et de somme 100.

Un razzo rapidissimo (ral. 15.I.22 ; cat. 10-10 ; 15rmti_it-22): Déterminer le temps nécessaire pour une fusée d'atteindre la Lune, sachant que sa vitesse initiale est de 1 cm/s et que cette vitesse double chaque seconde.

I bicchieri di Alberto (ral. 16.I.02 ; cat. 3-4 ; 16rmti_it-2): Trouver sept nombres naturels consécutifs dont la somme est 42, dans un contexte de verres à disposer sur des rayons.

Che bel libro ! (ral. 17.II.05 ; cat. 3-5 ; 17rmtii_it-5): Déterminer le jour où un livre de 105 pages sera lu, sachant que chaque jour ouvrable le lecteur lit une page de plus que le jour précédent.

La scelta dell'asino (ral. 17.II.12 ; cat. 6-7 ; 17rmtii_it-12): Confrontare le crescite delle somme di due progressioni geometriche (di ragione 2 e 3) con differenti velocità di avanzamento.

I numeri del signor Trapezio (ral. 18.I.13 ; cat. 6-10 ; 18rmti_it-13): Data la successione dei primi 44 numeri naturali disposti a trapezio (nella prima riga 0, 1, 2, nella seconda riga 3,4,5, 6, 7) trovare l’ultimo numero della trentesima riga.

Le bandierine (ral. 18.II.02 ; cat. 3-4 ; 18rmtii_it-2): Décomposer 100 en 2 sommes chacune sous la forme d'une série arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.

Gettoni in triangoli (ral. 18.F.09 ; cat. 5-7 ; 18rmtf_it-9): Déterminer la suite des nombres triangulaires dont la somme est 120. Représenter le nombres triangulaire suivant comme somme des nombres triangulaires inférieurs.

Il secondo capitolo (ral. 19.I.09 ; cat. 5-7 ; 19rmti_it-9): Trouver des nombres entiers consécutifs dont la somme est donnée (98). Contexte: pages d'un livre.

La libreria (ral. 19.I.14 ; cat. 7-10 ; 19rmti_it-14): Scomporre 372 in una somma di due termini dove uno è doppio dell’altro, poi scomporre ciascuno di questi termini in una progressione geometrica di ragione 2, in un contesto di libri sui ripiani di una libreria.

Alla ricerca des quadrato (ral. 19.II.17 ; cat. 8-10 ; 19rmtii_it-17): Les nombres entiers (supérieurs à 0) sont énumérés horizontalement dans un tableau de 13 colonnes. Vérifier si l’on peut découper dans ce tableau deux "carrés" de 3 x 3 nombres dont les sommes valent respectivement 900 et 1062.

I gettoni (ral. 19.F.02 ; cat. 3-4 ; 19rmtf_it-2): Trouver trois nombres formant une progression arithmétique de raison 3 dont la somme est 63.

Una spirale particolare (ral. 20.I.15 ; cat. 7-10 ; 20rmti_it-15): Calculer la somme des 50 premiers termes de deux progressions arithmétiques (6 + 7 + … + 54 + 55) + (1 + 2 + ... + 48 + 49), à partir du dessin d’une « spirale » sur quadrillage.

La staffetta di Transalpinia (ral. 20.F.11 ; cat. 5-8 ; 20rmtf_it-11): Déterminer toutes les séries de nombres entiers consécutifs dont la somme est 99.

I cubi di Zoe (U) (ral. 23.F.06 ; cat. 4-7 ; 23rmtf_it-6): Determinare un numero naturale inferiore a 25 avente 2 diverse decomposizioni trapezoidali (decomposizioni in somme di interi consecutivi).

A teatro (ral. 23.F.07 ; cat. 5-7 ; 23rmtf_it-7): Trovare i primi cinque termini di una successione aritmetica di ragione 4, la cui somma è 160.

I cubi di Zoe (II) (ral. 23.F.14 ; cat. 8-10 ; 23rmtf_it-14): Determinare un numero naturale minore di 50 avente quattro decomposizioni trapezoidali (decomposizioni in somme di numeri naturali consecutivi).

Torri sempre più alte (ral. 24.II.03 ; cat. 3-4 ; 24rmtii_it-3): In un contesto di costruzione di torri, calcolare la somma dei sei primi termini di una progressione geometrica di ragione 2 e il cui primo termine è 1.

Scale (ral. 24.II.12 ; cat. 7-9 ; 24rmtii_it-12): Trovare la posizione del termine 210 in una progressione aritmetica con primo termine 9 e di ragione 3: 9, 12, 15,… I primi tre termini sono definiti dal numero di quadrati neri di una successione di tre figure formanti delle “scale”.

Il grillo salterino (ral. 26.I.14 ; cat. 7-10 ; 26rmti_it-14): Calcolare il primo termine di una successione di sette termini di cui si conosce l’ultimo e in cui, a partire dal secondo, un termine è rispettivamente 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … di più del termine precedente.

La griglia (ral. 26.II.18 ; cat. 9-10 ; 26rmtii_it-18): Determinare il numero di caselle di una griglia quadrata, numerate a partire da 1 in ordine crescente, da sinistra a destra per le righe dispari e da destra a sinistra per quelle pari, conoscendo i numeri di due caselle su due righe differenti della stessa colonna, di cui non si conosce la posizione.

Pollicino (ral. 27.I.02 ; cat. 3-4 ; 27rmti_it-2): Determinare la successione delle somme dei numeri consecutivi a partire da 1: 1; 3; 6; 10; 15; ...; fino al primo termine superiore a 62, calcolare la differenza tra questo termine e 62 e determinare quindi il numero dei termini della successione.

Il libro di Marco (ral. 27.I.07 ; cat. 4-6 ; 27rmti_it-7): Costruire una successione di numeri naturali che comincia da 4, di cui ciascun termine è la somma del termine precedente e del suo doppio (progressione geometrica di ragione 3), poi trovare la posizione del primo termine di quella successione superiore a 300.

Percorsi di numeri (ral. 29.II.03 ; cat. 3-5 ; 29rmtii_it-3): Completare quattro successioni aritmetiche (di multipli), per tre delle quali sono noti solo il numero dei termini e l’ultimo termine ($120$).

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