Banque de problèmes du RMT
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Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral, dont le coté mesuré en centimètres est un nombre entier et pour lequel l’aire mesurée en cm2 et le périmètre mesuré en cm sont exprimés par le même nombre.
analyse de la tâche a priori
- Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur d’un triangle équilatéral de côté n (entier) ($h = \sqrt{3}n/2$)
- Calculer le périmètre P et l’aire A du triangle. On trouve : $P = 3n$ et $A =n^2$. Conclure qu’avec $n$ entier, l’aire A n’est pas entière, donc différente de P.
- Écrire l’équation : $n^2 = 3n$ dont les solutions sont $n = 0$ ou $n = 4$, et conclure que ces deux valeurs sont à écarter, car d’une part $n > 0$ et d’autre part $n$ est un entier, ce qui n’est pas le cas de 4.
- Ou bien, faire des essais de manière systématique, par exemple sous forme de tableau :
Pour n = 6, la mesure de l’aire est strictement inférieure à celle du périmètre. Pour n = 7, la mesure du périmètre est strictement inférieure à celle de l’aire. Cela nous permet d’en déduire qu’il n’existe pas d’entier répondant à la question posée.
- Ou bien, observer, éventuellement après quelques tentatives, que le périmètre est toujours un nombre entier (produit d'un nombre entier par 3), alors que dans le calcul de l'aire il apparaît toujours $\sqrt{3}$ multipliée par un nombre rationnel et conclure que les deux nombres ne peuvent pas être égaux.
- Ou bien, représenter graphiquement pour x > 0, les variations des deux fonctions $P(x) = 3x$ (demi droite) et $A(x) = (\sqrt{3}/4) x^2$ (arc de parabole).
- Observer que P(x) = A(x) pour un x non entier compris entre 6 et 7 et que pour x > 7, les points de même abscisse sur la droite et sur la parabole s’écartent de plus en plus, ce qui montre qu’elles n’ont pas d’autre point commun.
triangle, aire, périmètre, équilatéral, mesure, nombre irrationnel, équation
Points attribués, sur 329 classes de 9 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 85 (50%) | 39 (23%) | 7 (4%) | 21 (12%) | 18 (11%) | 170 | 1.11 |
| Cat 10 | 69 (43%) | 32 (20%) | 7 (4%) | 12 (8%) | 39 (25%) | 159 | 1.5 |
| Total | 154 (47%) | 71 (22%) | 14 (4%) | 33 (10%) | 57 (17%) | 329 | 1.29 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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