Carrelages en or

Identification

Rallye: 24.II.19 ; catégorie: 10 ; domaines: GM, GP, AL, FN
Familles:

• FU - Etudier le comportement d'une fonction
• FU/EX - Chercher un minimum ou un maximum d’une fonction
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ2 - Résoudre une équation du 2e degré

Remarque et suggestion

Résumé

Dans un carré partagé en quatre parties (un carré, un rectangle, un triangle, un trapèze disposés selon une figure donnée) déterminer la mesure du côté du petit carré de manière à ce que la somme de l’aire de ce petit carré et de celle du triangle soit minimale.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

analyse de la tâche a priori

- Se rendre compte que la dépense minimale est liée au minimum de l’aire de la partie en or

- Percevoir les positions relatives des quatre polygones, s’apercevoir qu’ils ont un sommet commun qui se situe sur la diagonale du carreau.

- Constater qu’aucune des dimensions des quatre figures n’est donnée, mais qu’elles sont dépendantes les unes des autres. Voir qu’avec un « petit » carré on a un « grand » triangle, un rectangle « allongé »…

- En termes de mesures, se rendre compte que si l’on connaît celle du côté du petit carré, on peut calculer son aire ainsi que celle du triangle rectangle.

- Choisir une mesure pour le côté du petit carré, trouver celle des deux côtés de l’angle droit du triangle (par différence à 48 cm) et calculer l’aire totale des deux figures. Constater que cette aire totale varie selon le choix de la mesure du côté du petit carré et effectuer quelques essais.

- Regrouper les différentes valeurs déterminées, par exemple :

et les organiser pour constater que la plus petite valeur de l’aire totale (768) ainsi calculée est obtenue pour un côté du carré mesurant 16 cm.

- Se convaincre que l’aire 768 cm2 est minimale pour un carré de côté 16 cm, en calculant les aires correspondant à des mesures autour des 16 cm, par exemple pour 15,9 et 16,1, etc.

- ou bien, supposer que la longueur du côté du petit carré est la moitié de celle du côté du grand carré. L'aire du petit carré est alors le quart de l'aire du grand. Le triangle a pour aire 1/2 × 1/2 : 2 = 1/8. Donc, l’aire des parties en or est 1/4 + 1/8 = 3/8 de l’aire du grand carré. Celle-ci mesure donc 3/8 × 48 × 48 = 864 cm2.

- Supposer ensuite que le côté du petit carré soit le 1/4 du côté grand. L'aire du petit carré est donc égale à 1/4 × 1/4 = 1/16. Le triangle a son côté égal aux 3/4 du côté du grand carré, son aire est 3/4 × 3/4 × 1/2 = 9/32, donc l’aire totale en or est 1/16 + 9/32 = 11/32 de l’aire du grand carré, soit 11/32 × 304 = 792 cm².

- Essayer avec 1/5 pour le côté du petit carré etc. Après ces diverses tentatives avec 1/3 pour le côté du petit carré et 2/3 pour le côté du triangle, on a pour l’aire de la partie dorée 1/9 + 2/9 = 3/9 = 1/3, soit 1/3 × 2304 = 768 cm². Le côté du carré qui minimise l’aire en or est donc 1/3 × 48 = 16 cm.

- ou bien, algébriquement, exprimer l’aire A de la partie dorée en fonction de la mesure l du côté du petit carré pour obtenir la relation : A = l² + (48 – l)2/2, - déterminer le minimum de cette fonction par des approximations successives en donnant quelques valeurs à la variable l autour de 16, au millimètre près, - ou reconnaître qu'il s'agit de l'équation d'une parabole : A = (3/2) l² – 48 l + 1152, avec la concavité tournée vers le haut, et interpréter le minimum de la fonction A comme l’ordonnée de son sommet dont l’abscisse l est égale à 48/3 = 16 cm exactement.

- Procédure experte : dans le cadre de l’étude des fonctions polynômes du second degré, le trinôme A s’écrit :

A = l² + (48 – l)²/2 = 3/2(l – 16)² + 768 ,

ce qui permet de déterminer immédiatement que le minimum de A est obtenu pour l = 16 cm.

Notions mathématiques

carré, rectangle, trapèze, triangle, aire, mesure, minimum, équation du deuxième degré

Résultats

24.II.19

Points attribués, sur 158 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (16 cm), avec des explications qui montrent clairement que la valeur trouvée correspond à l’aire minimale de 768 cm2. (Essais organisés autour des valeurs proches de 16 cm, sans citer explicitement le terme « fonction », mais faisant comprendre clairement que « avant et après 16 » les valeurs de l’aire sont supérieures à 768) 
  ou essais organisés avec pour le côté du petit carré l’utilisation de fractions de celui du grand et conclusion : le tiers soit 16 cm réalise le minimum cherché
• 3 points: Réponse correcte avec des essais non organisés et des explications qui ne se réfèrent pas aux variations de l’aire, (comme si 16 avait été trouvé par hasard)
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul 
  ou réponse erronée due à une erreur dans l’expression algébrique de l’aire dorée
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

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