Banca di problemi del RMT
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In un quadrato diviso in quattro parti (un quadrato, un rettangolo, un triangolo, un trapezio, disposti secondo una figura data) determinare la misura del lato del quadrato piccolo in modo che la somma dell’area di questo quadrato piccolo e di quella del triangolo sia la minima.
- Rendersi conto che la minima spesa è legata alla minima area della parte in oro.
- Osservare le relative posizioni dei quattro poligoni, comprendere che hanno un vertice comune sulla diagonale della mattonella.
- Constatare che non è data nessuna dimensione delle quattro figure, ma che esse dipendono l’una dall’altra. Vedere che con un quadrato “piccolo” si ha un triangolo “grande”, un rettangolo “allungato”… - In termini di misure, rendersi conto che se si conosce quella del lato del quadrato piccolo, si può calcolare la sua area e quella del triangolo rettangolo.
- Scegliere una misura per il lato del quadrato piccolo, trovare quella dei due cateti del triangolo (per differenza da 48 cm) e calcolare l’area totale delle due figure. Constatare che quest’area totale varia secondo la scelta della misura del quadrato piccolo ed effettuare qualche tentativo.
Raggruppare i differenti valori determinati, per esempio:
e organizzarli per constatare che il valore più piccolo dell’area totale (768) è dato dal lato del quadrato che misura 16 cm.
- Convincersi che l’area 768 cm2 è la minima per un quadrato di lato 16 cm, calcolando le aree corrispondenti a misure intorno a 16 cm, per esempio 15,9 e 16,1, ecc.
Oppure, supporre che la lunghezza del lato del quadrato piccolo sia la metà del lato del quadrato grande. L’area del quadrato piccolo è allora un quarto dell’area del grande. Il triangolo ha per area 1/2 x 1/2 : 2 = 1/8. Quindi, l’area delle parti in oro è 1/4 + 1/8 = 3/8 dell’area del quadrato grande, cioè 3/8 × 48 × 48 = 864 cm2.
- Supporre poi che il lato del quadrato piccolo sia 1/4 del lato grande. L’area del quadrato piccolo è allora uguale a 1/4×1/4=1/16. Il triangolo ha il cateto uguale ai 3/4 del lato del quadrato grande, la sua area è 3/4 × 3/4 × 1/2 = 9/32, quindi l’area totale in oro è 1/16 + 9/32 =11/32 dell’area del quadrato grande, cioè 11/32 × 2304 = 792 cm2.
- Provare con 1/5 per il lato del quadrato piccolo, ecc. Dopo questi diversi tentativi, con 1/3 per il lato del quadrato piccolo e 2/3 per il cateto del triangolo, si ottiene per l’area della parte dorata 1/9 + 2/9 = 3/9 = 1/3, cioè 1/3 × 2304 = 768 cm2. Il lato del quadrato che minimizza l’area in oro è quindi 1/3×48 = 16 cm.
Oppure, algebricamente, esprimere l’area A della parte dorata in funzione della misura l del quadrato piccolo per ottenere la relazione: A = l2 + (48 – l)2/2
- Determinare il minimo di questa funzione per approssimazioni successive dando alla variabile l qualche valore intorno a 16, a meno di un millimetro,
-o riconoscere che si tratta dell’equazione di una parabola A = (3/2) l2 – 48 l + 1152, con la concavità rivolta verso l’alto e interpretare il minimodelle funzione A come l’ordinata del suo vertice la cui ascissa l è uguale a 48/3 = 16 cm.
Procedura esperta: nell’ambito dello studio di funzioni polinomiali di secondo grado, il trinomio A in forma canonica si scrive:
A = l2 + (48 – l)2/2 = 3/2(l – 16)2 + 768 ,
ciò che permette di determinare immediatamente che il minimo di A è dato da l = 16 cm.
Punteggi attribuiti su 158 classi di 9 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 10 | 100 (63%) | 13 (8%) | 8 (5%) | 19 (12%) | 18 (11%) | 158 | 1 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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