Voiles triangulaires

Identification

Rallye: 26.I.17 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GM, GP
Familles:

• ANG - Utiliser des angles et/ou mesures d'angles
• ANG/CAL - Calculer des mesures d'angles ou mesurer des angles
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Etant donné un triangle dont deux côtés mesurent 2 m et 4 m (avec l’angle compris entre les deux côtés de 100 degrés), dessiner un triangle différent, de même aire avec deux côtés de 2 m et 4 m, et justifier qu’il est unique.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre qu’il y a toute une famille de triangles dont deux côtés mesurent (en m) 2 et 4, avec des angles différents formés par ces deux côtés (de 0 à 180 degrés), dont les aires varient selon l’angle (de 0 à 4 en m2)

- Comprendre que le dessin correspond à un choix de l’angle formé par les des deux côtés donnés (100 degrés) et qu’il détermine ainsi l’aire du triangle.

- Choisir l’un des côtés correspondants aux 2 m et 4 m sur la figure pour “base”.

- Construire la parallèle à la base choisie (par exemple 4) passant par le sommet opposé et dessiner le nouveau sommet par une symétrie selon un axe perpendiculaire à la base (ou par une rotation). Puisque les deux triangles ont la même base et la même hauteur, ils ont donc la même aire, l’un avec un angle de 100 degrés, l’autre avec un angle de 80 degrés.

- La construction doit alors se répéter en choisissant l’autre base pour s’assurer que le nouveau triangle est le même dans les deux construction (angle de 80 degrés et côtés adjacents de 2 et 4.

- La figure ci-dessous représente les deux constructions : à gauche avec le choix de la « base 4 », à droite avec le choix de la « base 2 »

- En conclure que dans chacun des deux cas, on obtient un nouveau triangle dont l’angle formé par les deux côtés de 2m et 4m mesure 80 degrés et que (en vertu d’un des cas d’égalité des triangles), les deux constructions aboutissent au même triangle, c’est à dire qu’il n’y a qu’un modèle possible pour la voile de Jacques.

Ou,

- Par une construction de ce type où l’on précise que les deux nouveaux triangles sont égaux : deux côtés de 2 et 4 m et l’angle compris de 80 degrés.

Ou,

- Calculer une approximation de l’aire du triangle par mesures sur le dessin d’un de ses côtés et de sa hauteur correspondante, puis recherche d’autres triangles de même aire par essais successifs, en modifiant l’angle, …

Notions mathématiques

géométrie, triangle, aire, équivalence, mesures côtés, angle, démonstration

Résultats

26.I.17

Points attribués, sur 403 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Dessin correct du triangle aux trois angles aigus (dont un de 80 degrés) avec explications qui mentionnent que la hauteur a été conservée, que par conséquent l’aire est aussi conservée, avec les deux constructions (l’une de base 2 et l’autre de base 4) et la vérification qu’ils sont isométriques (mêmes angles et mêmes côtés)
• 3 points: Dessin correct d’un triangle aux trois angles aigus avec explications qui ne mentionne que la conservation de l’aire (sans penser à la construction à partir de l’autre « base », ni justification
  ou les deux constructions sont effectuées mais l’égalité des triangles non justifiée
• 2 points: Dessin correct d’un triangle aux trois angles aigus, sans explications
• 1 point: Ou début de recherche cohérente (mesures prises sur le dessin pour tenter de calculer l’aire du triangle et ses différentes hauteurs, tentatives de construction d’autres triangles de 2 et 4 m de côté dont l’angle compris est différent de 80 degrés ou n’est pas déterminé, …)
• 0 point: Incompréhension du problème.

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