Les pots de chocolat

Identification

Rallye: 26.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GM, FN, 3D
Familles:

• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes
• RF - Traiter une relation fonctionnelle
• RF/TRI - Traiter une application quadratique

Remarque et suggestion

Résumé

Confronter les niveaux de liquide dans deux récipients cylindriques connaissant le rythme de remplissage de chacun

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Calculer le temps nécessaire pour que le niveau du pot de la machine A arrive à une hauteur de 40 cm : il reste donc à remplir une hauteur de 30 cm et, en remplissant 1 cm par seconde, il faudra 30 secondes pour finir de remplir le pot A.

- Calculer la hauteur du niveau de chocolat dans le pot de la machine B après 30 secondes : (1 + 2 + 3 + 4 + … + 30) mm, en effectuant l’addition à la main ou en reconnaissant qu’il s’agit de (31 × 30) / 2 = 465 en mm ou 46,5 cm.

- Conclure qu’en 30 secondes le niveau de chocolat du pot de la machine B dépasserait le niveau de celui de la machine A et que, par conséquent, il rejoindrait le niveau du pot A avant que celui-ci ne soit plein.

Ou bien:

- Calculer les hauteurs des niveaux de chocolat dans les deux pots en fonction du temps, en s’aidant éventuellement d’un tableau de ce genre :

- Conclure que le niveau de chocolat dans le pot de la machine B rejoindra celui du pot de la machine A après environ 27 secondes, c’est-à-dire avant que celui-ci ne soit plein.

Ou bien:

- Par voie algébriques et/ou graphique déterminer soit le moment où le niveau de 400 mm est atteint dans le pot B soit le moment où les deux pots sont au même niveau :

il faut alors, dans le premier cas la (durée : t, en secondes) trouver la formule 1 + 2 + 3 + ... + t = (t+1) × t/2 et résoudre l’équation (t+1) × t/2 = 400.

La solution est $\frac{-1 \pm \sqrt{1+3200}}{2} \approx 27.8$,

- Conclure que le niveau de chocolat dans le pot de la machine B arrivera à la hauteur 40 cm (400 mm) avant celui de la machine A (en 30 secondes) ; ou, dans le second cas, exprimer les deux fonctions f(t) = 10 + t ; g(t) = (t+1) × t/20 et résoudre l’équation f(t) = g(t) ; 10 + t = (t+1) × t/20 dont la racine positive est égale à 26,53 s.

Notions mathématiques

volume, cylindre, débit, vitesse

Résultats

26.I.19

Points attribués, sur 402 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : oui, le niveau de chocolat dans le pot de la machine B rejoindra celui du pot de la machine A avant que les pots soient pleins, avec explications claires et complètes (calcul du temps nécessaire pour arriver à 40 cm dans le pot B ou calcul de la hauteur de chocolat en fonction du temps) ou comparaison graphique ou calcul de l’instant où les deux pots auront la même hauteur de chocolat).
• 3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes ou peu claires (la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … + 30 n’est pas explicitée ou quelques étapes de l’élaboration de l’équation sont omises)
• 2 points: Procédure correcte mais avec erreur (de calcul ou de l’élaboration de l’équation ou de sa résolution)
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul, mais avec une procédure correcte et bien expliquée
• 1 point: Réponse correcte sans explication
  ou début de raisonnement correct (le nombre de secondes nécessaire pour remplir le pot de la machine A
  ou traces de la somme 1 + 2 + 3 + 4 …
  ou seulement le début d’un tableau pour B)
  ou réponse erronée due à deux erreurs de calcul ou plus, avec procédure correcte
• 0 point: Incompréhension du problème.

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