Les cinq rectangles (I)

Identification

Rallye: 27.II.10 ; catégories: 6, 7 ; domaines: GP, GM
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Former des rectangles composés chacun de quatre rectangles de périmètres 10, 14, 20 et 24 cm, et déterminer leurs périmètres.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Observer la figure et comprendre pourquoi il y a différents rectangles, soit de 10, soit de 14, soit de 20 et soit de 24 cm de périmètre (ils peuvent tous être plus ou moins « allongés »).

- Comprendre que si on choisit la longueur d’un côté du rectangle de 10 cm de périmètre, la longueur de l’autre côté est déterminée et peut se calculer par la relation : le périmètre est la somme des quatre longueurs des côtés, deux largeurs et deux longueurs. Par exemple :

• si l’on choisit 1 cm pour l’un des côtés, la mesure de l’autre sera 4 cm (10 = 2 × 1 + 2 × 4)
• si l’on choisit 2 cm pour l’un des côtés, la mesure de l’autre sera 3 cm (10 = 2 × 2 + 2 × 3)
• … (et on peut aussi choisir des nombres non entiers)

- Constater que la largeur du rectangle de 10 cm de périmètre est aussi celle de son voisin de 20 cm de périmètre et les choix précédents donnent un rectangle de 1 cm sur 9 cm pour le premier choix et un rectangle de 2 cm sur 8 cm, pour le second

- Effectuer les mêmes constatations pour le rectangle de 14 cm de périmètre dont la longueur est la même que celle du premier ce qui conduit à un rectangle de 3 cm sur 4 cm pour le premier choix et un rectangle.

- de même pour les rectangles de 24 cm de périmètre : de 3 cm sur 9 cm pour le premier choix et de 4 cm sur 8 cm pour le second.

- Utiliser les mesures des côtés de chaque petit rectangle pour calculer le périmètre du grand rectangle :

• pour le premier choix : 2 × [(4 + 9) + (1 + 3)] = 34 cm
• pour le second choix : 2 × [(3 + 8) + (2 + 4)] = 34 cm
• et constater que ces deux périmètres sont égaux.

- Vérifier que, avec d’autres choix pour un côté du premier rectangle de 10 cm de périmètre, on obtient encore 34 cm pour le périmètre du grand rectangle. Par exemple avec 1,5 (ou 3) comme troisième choix : 1,5 sur 3,5 (ou 3 sur 2) ; 1,5 sur 8,5 (ou 3 sur 7) ; 3,5 sur 3,5 (ou 5 sur 2) et 3,5 sur 8,5, (ou 5 sur 7) le périmètre du grand rectangle est : 2 × [(3.5 + 8,5) + (1,5 + 3,5)] = 34 cm (ou 2 × [(2 + 7) + (3 + 5)]) = 34). (la démonstration ou une justification de cette propriété n’est pas demandée).

Notions mathématiques

carré, rectangle, périmètre, longueur, côté, division, addition

Résultats

27.II.10

Points attribués sur 2640 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (les trois périmètres valent chacun 34 cm, avec des grands rectangles de dimensions différentes) avec détail des calculs pour chaque choix de dimensions du premier rectangle (nombres naturels ou décimaux) ou dessins expliqués
• 3 points: Réponse correcte et complète avec explications partielles ou peu claires
  ou seulement deux solutions correctes avec détail des calculs pour chaque rectangle
• 2 points: Réponse correcte, sans explications
  ou seulement une solution correcte
  ou réponse erronée (aucun des périmètres est 34) due à des erreurs de calcul, mais procédure correcte et bien expliquée
• 1 point: Début de recherche correct, par exemple la mesure de quelques côtés, mais sans arriver à la conclusion
• 0 point: Incompréhension du problème

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