Banque de problèmes du RMT
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Appropriation et savoirs nécessaires
- Se rendre compte qu’on est dans une situation de partage, entre Andrée qui possède quatre fois la préparation de Blanche et Blanche qui ne possède que la sienne.
Résolution - Comme on ne connaît que le rapport entre les deux préparations, il faut en prendre une des deux comme unité, la petite de préférence pour avoir deux nombres entiers. La grande vaut alors 4 unités, ensemble il y a 5 unités. Andrée doit donc donner une et demie de ses quatre unités à Blanche pour qu’elles aient chacune la même quantité (2,5 unités).
- Il faut alors exprimer la réponse selon la question Quelle fraction de sa préparation Andrée … en se plaçant du point d’Andrée et trouver une expression avec des nombres entiers pour remplacer “une et demie de ses quatre unités » qui en demi-unités s’exprime par 3 demies unités de ses 8 demi unités ou trois sur huit ou 3/8. (Une réponse comme « Andrée doit donner 1,5 « préparation » à Blanche ne correspond pas à la formulation de la question « fraction de » et non un « nombre de ».
- Une représentation graphique (un cercle et quatre cercles, un segment et un autre segment de longueur quadruple, etc. ) peut aider à représenter les huit demi-parts.
- Imaginer plusieurs valeurs hypothétiques successives pour chaque part ( 1 kg et 4 kg, 100 grammes et 400 grammes, etc.) peut aussi faciliter le passage à la représentation générique : une part et quatre parts.
égalité, quadruple, partie, partage, compensation
Points attribués, sur 2169 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 348 (31%) | 188 (17%) | 198 (18%) | 223 (20%) | 171 (15%) | 1128 | 1.72 |
| Cat 7 | 249 (24%) | 243 (23%) | 130 (12%) | 197 (19%) | 222 (21%) | 1041 | 1.9 |
| Total | 597 (28%) | 431 (20%) | 328 (15%) | 420 (19%) | 393 (18%) | 2169 | 1.81 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les observations qui suivent sont tirées des copies d'une section (MI) et donnent quelques idées sur l'importance de la variable didactique du choix des parts.
Dans la première version la répartition originale est 1 (pour B) et 3 (pour A), le total est 4, la répartition équitable est 2 et 2, qui exige que A en donne 1 à B. (ce que la majorité des élèves ont trouvé, sans préciser qu'il s'agit d'un tiers de la part de A.)
Dans la deuxième version, la répartition originale est 1 (pour B) et 4 (pour A) qui conduit à un total de 5 et une répartition équitable de 2,5 et 2,5 et une intrusion de nombres décimaux dans une situation de "recherche d'une fraction", habituellement traitée dans l'ensemble des nombres naturels. La majorité des copies examinées montrent que les élèves ont aboutit à la répartition équitable 2,5 et 2,5 et par conséquent au calcul de (4 - 2,5 = 1,5 pour déterminer ce que A doit donner à B.
Il en découle naturellement la réponse; Andrée doit donner 1,5 de sa part de 4 à Blanche traduite par l'écriture 1,5/4, mais non prévue par les critères d'attribution des points.
Certaines copies montrent que les élèves sont partis d'une valeur particulière 2 pour la part de Blanche au lieu de partir du cas général "part de Blanche" comme une grandeur indéterminée. Dan ce cas, Andrée a une part correspondant à 8, le total est 10, dont la moitié est un nombre naturel, 5. Dans ce cas la réponse Andrée doit donner 3 de ses 8 (part)s à Blanche qui se traduit par l'écriture 3/8, prévue par les critères d'attribution des points!
Les représentations graphiques font apparaître en général 5 figures-unités (des segments, des carrés, ... parfois partagées en deux qui conduisent aussi aux réponses sous forme de fractions avec 1,5 ou 3 au numérateur.
Les moyennes des points obtenus sont nettement plus basses que celles de la première version du premier problème, elles dépendent des points de vue des personnes chargées d'attribuer les points, très variables d'un jury à l'autre.
En résumé, les élèves arrivent à déterminer ce que Andrée doit donner à Blanche pour arriver à un partage équitable, mais ils l'expriment différemment selon le sens qu'ils donnent au terme "fraction" et selon le sens que les jurys attribuent au même terme! On se situe dans un débat plus linguistique que mathématique.
Voir la rubrique suivante Exploitations didactiques
Quelle partie de sa pâte Andrée doit-elle donner à Blanche ? dans la version I du problème et Quelle fraction de sa pâte Andrée doit-elle donner à Blanche ? dans la version II, sont des questions qui n'ont pas une réponse déterminée de manière univoque. Les auteurs des critères d'attribution des points et les enseignants qui les ont attribué ont des lectures différentes qui dépendent de la situation, de la langue commune, des interprétations personnelles de "partie" ou "fraction".
Le mot "rapport" de deux grandeurs n'est pas mieux défini que "fraction"; l'expression "partie de l'unité" signifie que dans la comparaison la première grandeur est plus petite que la deuxième; les mots de langue courante comme "partie", "morceau", "parcelle", "portion" dépendent tous aussi du contexte.
Dans l'enseignement des mathématiques le mot "fraction" est étroitement lié à une écriture dans laquelle figurent deux nombres entiers séparés par une barre (de fraction) et à ses représentations graphiques. Sa définition, une fraction est un moyen d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'un quotient de deux entiers n'est pas accessible à l'élève avant qu'il ait construit le concept de nombre rationnel.
L'exploitation didactique du problème se situe donc au niveau du vocabulaire et des conventions d'écritures. L'enseignant peut écouter les élèves parler de ce que représente pour eux le mot "fraction" et leur montrer toutes ses différentes acceptions: une partie d'un objet, un rapport, le résultat d'une division, une nouvelle espèce de nombre ...
Chaque élève devrait avoir construit sa table de division au cours de sa carrière scolaire, avec les différents ensembles de nombres qu'il connaît. Il s'agit d'un long travail car, dans chaque case de la table, doivent figurer les différentes écritures du quotient correspondant: la fraction "d'origine" (par exemple, à l'intersection de la colonne 4 et de la ligne 10 on trouve le quotient de 4 par 10: 4/10), la fraction irréductible (2/5 dans l'exemple), l'écriture décimale (0,4) et, selon les cas, les écritures décimales illimitées puis leurs différentes approximation décimales, au dixième, centième, millième ... près.
L'usage de couleurs peut faire apparaître les nombres égaux de cette table, alignés et d'autres propriétés intéressantes de l'ensemble des nombres rationnels.
La recherche des décimales successives fait découvrir les "périodes" du développement décimal.
La notion d'approximation se construit aussi lors de l'élaboration de cette table de division.
Pourquoi ont-ils inventé les fractions. Nicola Rouche. Ed. Ellipses. Coll. L'esprit des sciences. Paris, 1998
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