Otto pezzi

Identificazione

Rally: 30.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• DEM - Fare una dimostrazione
• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/CP - Confrontare aree e/o perimetri

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Sunto

Spiegare la comparsa di uno spazio libero (buco) in una figura che sembra essere un triangolo, costituito da otto pezzi dati mentre questi otto pezzi, disposti in modo diverso coprono completamente una figura che sembra essere lo stesso triangolo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Appropriazione

- Osservare gli otto pezzi, riconoscere le loro forme (due coppie di triangoli rettangoli (2 × 3 e 3 × 5), due coppie di un insieme di quadretti a forma di L (di 3 quadretti e di 6 quadretti); riconoscere la loro posizione all’interno delle due figure e verificare che in entrambe ci sono sempre gli stessi otto pezzi.

- Verificare che le due figure che sembrano triangoli hanno la stessa “base” (10) e stessa “altezza” (8).

- Comprendere che la presenza di un buco di due quadretti è un enigma che è necessario cercare di spiegare come richiesto dall’enunciato.

Fase di resoluzione

Costruire le due figure (o disegnare i contorni degli otto pezzi nelle figure date) utilizzando per ciascuna di esse tutti gli otto pezzi.

Ci sono poi numerose strade da prendere in considerazione per comprendere la scomparsa o la ricomparsa di questi due quadretti.

- un nuovo controllo di tutti i pezzi per verificare che non ci sia stata nessuna sostituzione o “trucco” nel testo, ma solo regolari accostamenti degli otto pezzi

- determinazione dell’area di ciascun pezzo e della loro somma (3 + 3 + 7,5 + 7,5 + 3 + 3 +6 + 6 = 39 quadretti) e delle due figure considerate come dei triangoli (10 × 8) ÷ 2 = 38, per poi rendersi conto che lo scarto di un quadretto tra 38, 39 e 40.

- immaginare che le aree dei pezzi si modifichino spostandoli

- ...

La spiegazione da dare può riferirsi all’osservazione dei lati obliqui delle figure ciascuno dei quali passa per un’intersezione della quadrettatura, 5 quadretti dalla base nella figura con il buco e 3 quadretti dalla base nella figura senza buco oppure alla “pendenza” dei pezzi triangolari che è diversa: 3/2 = 1,5 per i piccoli e 5/3 = 1,7 per i grandi.

- Mettere in discussione la sua percezione visiva delle due figure il cui perimetro esterno sembra essere lo stesso triangolo quando in realtà non lo è. I loro lati obliqui non sono segmenti diritti ma una linea spezzata formata da due segmenti non paralleli.

Saperi mobilitati

Il calcolo dell'area delle figure elementari, contando i quadrati unitari o applicando la formula dell'area del triangolo e la conoscenza delle proprietà del triangolo (tre lati rettilinei) sono le uniche conoscenze immediate coinvolte in questo attività.

La conoscenza chiave è la nozione di "pendenza" delle ipotenuse dei triangoli (o rapporto tra i lati dell'angolo retto): 2/3 è diverso da 3/5.

Nozioni matematiche

area, rettangolo, triangolo, unità di area, pavimentazione, taglio, pendenza

Risultati

23.I.18

Punteggi attribuiti, su 363 classi di 8 sectzioni:

Secondo i criterir determinati dall'analisi a priori :

• 4 punti: Constatazione che le due figure non sono triangoli con la descrizione che i due lati obliqui non si trovano su una stessa retta, ma sono formati da due segmenti che hanno direzioni diverse e con la ricomposizione delle figure o il disegno del contorno degli otto pezzi oppure con la constatazione che l’area degli otto pezzi (39), essendo diversa da quella di un triangolo di base 10 e di altezza 8 (40), permette di affermare che le due figure di area 39 e 41 non possono essere dei triangoli
• 3 punti: Disegno dei pezzi e constatazione che le figure non sono triangoli senza i dettagli sui lati obliqui o sulle aree
• 2 punti: Disegno dei pezzi sulle due figure con eventualmente il conteggio dei quadretti totali delle due figure (40 e 38), ma senza saper dare una spiegazione plausibile del motivo per cui una figura ha due quadretti in più rispetto all’altra
• 1 punto: Inizio di ricerca corretta, per esempio disegno dei pezzi su una sola figura
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La maggioranza dei gruppi non percepisce che le due figure non sono triangoli, nonostante l'uguaglianza delle aree dei pezzi.

Questa percezione è offuscata dalla priorità data ad una “visualizzazione” superficiale delle due figure.

Indicazioni didattiche

L’insegnamento tradizionale evita o ignora le situazioni di “illusione ottica”. Questa situazione è un'opportunità per rimediare a questo e mostrare agli studenti che i triangoli rettangoli non sono tutti uguali; e che per differenziarli è necessario determinare i loro angoli o il rapporto delle misure dei loro due lati dell'angolo retto.

Per andare più lontano

si veda Strano ritaglio (23.I.18, cat. 9-10)