Découpages de triangles

Identification

Rallye: 19.II.13 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: GP
Familles:

• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les différents triangles isocèles dont les sommets sont sur des points du quadrillage avec deux côtés isométriques à un segment donné sur la grille.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre toutes les conditions à respecter pour la construction des triangles :

• les triangles doivent être isocèles,
• les côtés égaux ont la même longueur que le segment indiqué,
• le troisième sommet doit être sur un point d’intersection du quadrillage,
• les triangles doivent être tous différents (non isométriques).

- Se rendre compte, que les deux côtés de même longueur sont des diagonales de rectangles de dimensions 2 et 4 (l’unité est le côté d’un carreau du quadrillage).

- Procéder systématiquement : par exemple, considérer tous les segments qui peuvent être tracés à partir d’une des extrémités du segment indiqué et qui soient des diagonales de rectangles 2 × 4 et construire un triangle isocèle avec chacun d’eux et avec le segment donné. Écarter ensuite ceux qui sont de mêmes formes (isométriques ou superposables) que des triangles déjà obtenus.

Ou bien : se rendre compte qu’après avoir dessiné le segment sur le quadrillage, que le troisième sommet du triangle doit être sur le cercle de centre une extrémité et de rayon égal à la longueur du segment indiqué. Dessiner soigneusement un tel cercle et déterminer les points du quadrillage qui se trouvent sur le cercle. Considérer les triangles ainsi formés et, à cause de l’imprécision du dessin, vérifier qu’ils sont isocèles en utilisant le quadrillage et éliminer ceux qui sont de même forme (isométriques ou superposables) à d’autres déjà obtenus.

Ou bien : procéder par essais non organisés à partir du segment indiqué.

- Obtenir dans tous les cas que Christine peut trouver 5 triangles de formes différentes et les dessiner, par exemple, comme ci-dessous, indépendamment de la position du segment de l’énoncé :

Notions mathématiques

angle, triangle isocèle, figure isométrique, quadrillage

Résultats

19.II.13

Points attribués, sur 2177 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : 5 triangles avec dessins bien disposés dans le quadrillage, avec les bonnes dimensions
• 3 points: Réponse avec un seul oubli ou une répétition (triangle isométrique à l’un des précédents) ou une erreur (triangle non conforme aux demandes : non isocèle ou avec des sommets qui ne sont pas des points d’intersection du quadrillage)
• 2 points: Réponse avec deux oublis ou deux répétitions ou deux erreurs
• 1 point: Réponse avec trois oublis ou trois répétitions ou trois erreurs
• 0 point: Un seul triangle correct ou incompréhension du problème points:

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Una procédure incomplète mais fréquente est de rechercher les seuls triangles isocèles avec une base horizontale ou moins souvent verticale et deux côtés isométriques au côté donné, dans une position que l'on pourrait qualifier de "privilégiée". Un obstacle important paraît aussi être celui de ne pas se fixer sur la position du segment donnée et d'imaginer d'autres segments isométriques disposés différemment .

Les moyennes de points sont très basses et dues à la fréquence élevée de trois types d'erreur :

• erreurs dans la vérification de l'isométrie des côtés (certains triangles sont considérés comme isocèles alors qu'ils ne le sont pas);
• erreurs dues au non respect de l'isométrie avec le segment donné sur la grille, (à l'exception des dessins qui utilisent ce segment comme côté);
• erreurs dues à une incompréhension de l'énoncé (par exemple des élèves ont rempli la grille entière de triangles isocèles).

Exploitations didactiques

Un problème comme "Découpages de triangles" permet de faire émerger des obstacles caractéristiques à propos de notions qui sembleraient acquise, comme le triangle isocèle, l'isométrie des angles et des côtés. On constate clairement que l'image du triangle isocèle qu'ont les élèves est celle d'une figure dont l'un des trois côtés est horizontal et les deux autres, isométriques sont obliques. Il s'agit d'une figure avec un axe de symétrie vertical (selon Lismont & Rouche, 2001), et ont comme objet de référence le "toit"(Marchini et al., 2002). Le terme "base" suppose encore que ce côté soit non seulement horizontal mais encore "en bas". L'objet "drapeau" (cité aussi par Marchini et al.), est moins fréquent.

A propos de la recherche des autres positions du côté de référence, il semble qu'on rencontre une difficulté d'un autre genre: la perception de ce segment comme una diagonale d'un rectangle de 2 x 4 ou d'un vecteur de composantes 2 et 4 ( Vighi, 2005). Pour trouver les différentes positions de ce segment, il est nécessaire de comprendre que “4 pas vers la droite et 2 pas vers le haut" représentent un déplacement isométrique à “2 pas vers la droite et 4 pas vers le haut" par commutativité, ou encore “2 pas vers la gauche et 4 pas vers le bas" par inversion gauche/droite ou haut/bas, etc.

Les questions qui se posent du point de vue didactique sont nombreuses.

Est-il possible de “lutter” contre la prédominance de certaines images mentales associées ai triangle isocèle? Comment? Suffirait-il d'éviter le terme "base" et de ne pas dessiner le triangle isocèle systématiquement avec un côté horizontal?

Pour aller plus loin

Les trois problèmes cités ci-dessous ont également fait l'objet d'analyse détaillées et d'expérimentations. Le lecteur est renvoyé aux articles qui s'y rapportent pour des approfondissements de type didactique.

Le problème “Découpages de triangles”: Déterminer des segments isométriques sur un quadrillage, fait partie d'une série de problèmes autour de la comparaison de longueur sur quadrillage dont, par exemple:

La traversée du quadrillage Distinguer les unités "côtés" des unités "diagonales" dans un parcours sur quadrillage

La table à déplacer Distinguer rectangles et parallélogrammes non rectangles

Les titres des articles cités en bibliographie sont, respectivement, "Le rectangle, … pas sì évident" et "Difficultés dans la comparaison de longueurs"

Bibliographie

Anselmo B., Bisso C., Grugnetti L. (a nome del gruppo geometria dell’ARMT): 2011, "Le rectangle, … pas sì évident", La Gazzetta di Transalpino, No 1. http://www.armtint.org/it/component/jdownloads/viewcategory/12-gazzetta-n-1-articoli-gazette-n-1-articles?Itemid=1336

Crociani C., Doretti L., Grugnetti L. Jaquet F. : 2012, "Difficultés dans la comparaison de longueurs", La Gazzetta di Transalpino, No 2. http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-2/viewcategory/11-gazzetta-n-2-articoli-gazette-n-2-articles).

Marchini C., Rinaldi M.G., Bedulli M., Grugnetti L.: 2002,Tetti e bandiere, Processi didattici innovativi per la Matematica nella scuola dell'obbligo, Pitagora (Bo), 223-236.

Lismont, L, Rouche, N. (a cura di), 2001, Forme et mouvements, CREM.

Vighi, P.: (2005), Measurement on the squared paper, in: Bosch, M., (Ed.), Proceedings of the IV Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, CERME 4, Sant Feliou de Guixols (Spagna), 18-21/02/05, pp. 777-786, ISBN: 84-611-3282-3, [Copyright left to the authors in 2006], pubblicato su CD.

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