Fils tendus

Identification

Rallye: 24.F.23 ; catégorie: 5 ; domaines: GP, GM
Familles:

• IF - Identifier des figures
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Dessiner les carrés et les rectangles dont les sommets sont situés sur l’un des nœuds de chacun des quatre côtés d’une grille quadrillée 5 × 5 (à l’exception des nœuds des quatre sommets de la grille).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer la figure B, concevoir que l’élastique est tendu sur quatre clous et que c’est le choix des clous qui déterminera les formes des quadrilatères.

- Pour la recherche des carrés, constater que, puisqu’il n’y a pas de clous sur les sommets de la grille (carrée), il faut renoncer au carré du cadre de la grille, puis que si l’on choisit des clous sur deux côtés opposés le quadrilatère aura deux côtés plu longs que les autres pour imaginer finalement des carrés dont les côtés ne sont pas parallèles à ceux du cadre (en « oblique » par rapport aux côtés de la feuille). Découvrir enfin les deux types de carrés, ceux déterminés par le premier clou à partir des sommets de la grille et ceux déterminés par le second clou. Sur la figures C ci-dessous : (1 ; 5 ; 9 ; 13) ou (4 ; 8 ; 12 ; 16) et (2 ; 6 ; 10 ; 14) ou (3 ; 7 ; 11 ; 15).

- Mesurer les côtés des deux types de carrés pour se rendre compte que les côtés du premier type sont plus longs que ceux du second type (la différence est évidente, avec une règle, ou par report de segments). Colorier un des carrés de chaque type, en rouge et en bleu.

- Pour la recherche des rectangles, constater que ceux qui apparaissent « spontanément », avec les côtés parallèles à ceux de la grille (ou de la feuille) ne satisfont pas la contrainte des sommets sur quatre côtés différents et en déduire qu’il faut chercher des rectangles placés « obliquement ».

- Par essais, découvrir les deux types de rectangles (1, 8, 9 ; 16) ou (4, 5, 12 ; 13) et (2, 7, 10 ;15) ou (3, 6, 11 ;14) (sur la figure D ci-dessus) et comparer leurs aires en comptant par exemple les carrés de la grille qu’ils contiennent.

- Colorier en rouge le petit (1, 8, 9 ;16) ou (4, 5, 12 ;13) dont l’aire est 8 carrés de la grille, et en bleu (2, 7, 10 ;15) ou (3, 6, 11 ;14) dont l’aire est 12.

Notions mathématiques

polygone, rectangle, carré, périmètre, aire, longueur, mesure, côté, parallèle, perpendiculaire, angle droit

Résultats

24.F.23

Points attribués, sur 12 copies de la 2e finale internationale du RMT (15.10.2016. Le locle)

Selon les critères suivants:

• 4 points: Réponse correcte et complète : deux carrés et deux rectangles tracés correctement selon leur couleur (voir figures C et D)
• 3 points: Les deux carrés et les deux rectangles dessinés correctement mais avec une interversion des couleurs
• 2 points: Les deux carrés et les deux rectangles dessinée correctement mais avec interversion des couleurs dans chaque cas
• ou il manque un carré ou un rectangle dans un cas, avec couleurs correctes dans l’autre cas
• ou les deux carrés ou les deux rectangles sont égaux, avec couleurs correctes dans l’autre cas
• 1 point: Un seul carré ou un seul rectangle est découvert, avec éventuellement des figures qui ne sont ni rectangles, ni carrés
• ou des parallélogrammes qui ne sont ni des carrés ni des rectangles
• 0 point: Incompréhension du problème: aucune des figures dessinée n’est un rectangle ou un carré ou un parallélogramme

Procédures, obstacles et erreurs relevés

- 4 classes sur 12 ont dessiné les deux carrés et les deux rectangles avec les couleurs correctes (critère d’attribution « 4 points »)

- 4 classes ont dessiné correctement les carrés mais n’ont trouvé qu’un seul des deux rectangles demandés, celui dont l’aire est la plus petite (8 carrés du quadrillage). La deuxième figure est soit un rectangle dont deux sommets sont sur un même côté de la grille et l’autres sur le côté opposé, soit un parallélogramme.

- 1 classe a dessiné correctement les carrés mais un parallélogramme et un quadrilatère irrégulier à la place des deux rectangles.

- 1 classe a dessiné deux carrés, l’un de 2 × 2 et l’autre de 3 × 3 carreaux entiers du quadrillage dont les sommets ne sont pas sur les côtés de la grille ; les deux rectangles sont dessinés correctement.

- 2 classes n’ont pas respecté la contrainte des quatres sommets sur les côtés du quadrillage.

Globalement, la perception des deux carrés est plus aisée que celle des deux rectangles.

Exploitations didactiques

Ce problème de construction de figures sur un cadre offre un large champ d’exploitations pour tous les apprentissages relatifs aux propriétés des polygones par la variété des développements possibles.

Les réponses aux deux questions ne sont en effet que l’introduction à de très nombreux autres problèmes.

Par exemple, avec les mêmes conditions (4 clous par côté et un sommet sur chaque côté), les reconnaissances de quadrilatères particuliers:

• Quels sont les parallélogrammes (non rectangles) que l’on peut former ?
• Quels sont les les trapèzes, isocèles, ou non, que l’on peut former ?
• Peut-on former des losanges non carrés sur ces clous ?
• Peut-on former des « cerfs-volants » non carrés sur ces clous ?
• Peut-on former des quadrilatères n’ayant qu’un seul angle droit sur ces clous ?

Les inventaires :

• Combien de quadrilatères différents (non isométriques ou non exactement superposables) peut-on former ?

Les calculs d’aire, qui font intervenir la soustraction des aires en carrés du quadrillage : à partir de l’aire totale de la grille et des quatre triangles non compris dans le quadrilatère dessiné, situés dans les quatre angles de la grille :

* Quelle peut être l’aire d’un quadrilatère construit sur ces clous, de la plus petite à la plus grande

L’activité est facilement réalisable par manipulation, avec des élastiques sur une « planche à clous » ou sur un cadre facile à construire.

Les élèves peuvent aussi inventer des nouvelles questions é propos de cette grille.

Pour aller plus loin

La grille 5 × 5 de ce problème peut évidemment être modifiée, le choix des clous aussi, comme les nombres de côtés des polygones et les règles de placement de leurs sommets.

On arrive ainsi à l’instrument « planche à clous », d’une richesse inépuisable, qui permet d’envisager tous les concepts de la géométrie plane à construire durant la scolarité obligatoire, avec le support de la validation par manipulation : polygones, longueurs, aires, angles, parallélisme, perpendicularité, …

Bibliographie

Jaquet F.: 2016, 'Les problèmes de la deuxième finale internationale du RMT et leur analyse / I problemi della seconda finale internazionale del RMT e la loro analisi'. La Gazzetta di Transalpino / La Gazette de Transalpie no 6 pp.21-39.

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