Banque de problèmes du RMT
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Vérifier si des polygones (six) dessinés sur un quadrillage peuvent être recouverts par les huit pièces triangulaires d’un puzzle (4 demi-carrés du quadrillage, 2 triangles rectangles isocèles composés chacun de 2 demi-carrés, 2 demi rectangles 1 × 2), présenté par deux exemples : en forme de rectangle 1 × 6 puis en forme d’un hexagone (non régulier)
- Reconnaître et identifier les huit pièces du puzzle sur les deux exemples, leur forme et leur aire : 4 petits triangles isocèles rectangles (d’un demi-carré du quadrillage), 2 grands triangles isocèles rectangles (composés de deux petits triangles et équivalent à un carré du quadrillage), 2 triangles rectangles, demi-rectangles de 1 × 2 (dont l’aire correspond aussi à un carré du quadrillage).
- Percevoir le prolongement du quadrillage dans les polygones à recouvrir.
- Percevoir les côtés des polygones à recouvrir qui correspondent aux côtés des pièces du puzzle, en particulier les diagonales de carrés du quadrillage et les diagonales de rectangles 1 × 2.
- Vérifier éventuellement que l’aire des figures à recouvrir est bien celle des 8 pièces du puzzle, qu’on peut déterminer sur les deux exemples : 8 carrés du quadrillage ; puis la possibilité de placer les deux demi rectangles 1 × 2 dans la figure à compléter. Cette vérification permettrait d’éliminer l’octogone (aire 7), le trapèze isocèle d’aire 6 mais dont deux côtés sont des diagonale de rectangles 1 × 3, le polygone concave d’aire 6 également mais dont un seul des sept côtés est une diagonale de rectangle 1 × 2 et exigerait un nombre impair de demi-rectangles 1 × 2.
- La procédure de recouvrement est la même pour chaque figure possible : le parallélogramme, l’hexagone et le cerf-volant : par essais progressifs, soit par manipulation des huit pièces découpées dans l’un des exemples, soit visuellement, par tracé des pièces.
polygone, rectangle, hexagone, octogone, parallélogramme, trapèze isocèle, triangle rectangle isocèle, quadrillage, diagonale, aire,
Points attribués, sur 12 copies de la 2e finale internationale du RMT (15.10.2016. Le locle)
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 0 (0%) | 5 (42%) | 2 (17%) | 2 (17%) | 3 (25%) | 12 | 2.25 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Trois classes estiment que toutes les figures sont impossibles à recouvrir, après avoir découpé les pièces et essayé de les placer.
- Une classe dit : Non è possibile mettere gli 9 pezzi nelle altre 6 figure, perché non hanno l’area adequata. Ce n’est pas possible de mettre les 8 pièces sur les six figures car elle n’ont pas l’aire qui convient.
- Une classe recouvre toutes les figures mais seules deux d’entre elles sont complétées à peu près correctement, les autres le sont avec des triangles différents des pièces du puzzle.
- Quatre classes recouvrent deux ou trois des figures possibles (hexagone, parallélogramme, cerf-volant) avec parfois quelques imprécisions et une ou deux autres (polygone à 7 côtés et l’octogone). Ils disent ne pas pouvoir recouvrir les autres (trapèze isocèle dans les trois cas et octogone dans deux cas).
- Quatre classes réussissent la tâche entièrement.
Dans la grande majorité des cas, les élèves se sont aidés de pièces découpées dans les exemple ou dans d’autres feuilles, mais la manipulation n’a cependant pas permis d’arriver aux trois recouvrements corrects et aux trois impossibilités dans 9 cas sur 12. Il faut remarquer à ce propos que les dimensions des pièces sont petites et que les découpages ne peuvent être ni précis ni rigides pour assurer un recouvrement efficace.
Les erreurs sont dues :
- au non respect des formes des pièces du puzzle (triangles isocèles non rectangles, triangles quelconques pour « combler un espace vide, carré au lieu d’un grand triangle isocèle rectangle)
- au non respect du nombre de pièces (plus de 8 pièces, 3 ou 4 demi-rectangles 1 × 2)
- à la disposition des pièces.
Bien que le quadrillage a souvent été étendu aux figures à recouvrir, les obstacles liés à la perception des propriétés des pièces en jeu sont encore nombreux : les petits triangles ne sont pas reconnus comme des demi-carrés, les côtés des angles droits des grands triangles ne sont pas reconnus comme des diagonales des carrés du quadrillage, le grand côté (hypothénuse) des demi rectangles 1 × 2, sont confondues avec des diagonales de carrés du quadrillage, …
Les justifications pour les figures qui ne peuvent être recouvertes sont difficiles à décrire en termes rigoureux, on constate cependant qu’elles sont issues des manipulations ou essais non aboutis :
- Le trapèze est impossible car les cases sont trop serrées, l’octogone est impossible car il y a trop de cases, le polygone à 7 côtés est impossible car il manque des formes. Les autres sont possibles (avec dessin correct)
- (3 non sono possibili perchè le linee non combaciano) 3 ne sont pas possibles parce que les lignes ne correspondent pas.
- On peut pas 2 figures (trapèze et octogone) car il y a des angles trop petits pour rentrer des triangles. je me suis aidé des exemples pour faire les figures.
Ce problème de puzzle est directement exploitable pour la sensibilisation aux propriétés des triangles et autres polygones, dans les domaines des longueurs, des aires et des angles.
La construction des huit pièces du puzzle en carton rigide, manipulables, peut aider de nombreux élèves à se familiariser avec ces figures et leurs disposition sur un quadrillage correspondant.
Il y a de nombreuses figures qui peuvent être recouvertes avec les six pièces, et leur recherche offre de nombreuses activités autonomes, dont la validation peut être confiée aux élèves.
Par exemple : un élève forme une figure avec les huit pièces, puis il en dessine le pourtour sur un quadrillage en vraie grandeur ou en réduction, puis il le propose à d’autres élèves qui doivent y dessiner le détail des pièces.
On peut aussi dresser des inventaires, activité qui se déroule sur une longue période, avec reconnaissance de formes isométriques (superposables) :
- Quels sont les polygones composées de 6 carrés voisins du quadrillage que l’on peut former avec les huit pièces du puzzle ?
- Quels sont les quadrilatères, pentagones, hexagones … que l’on peut former avec les huit pièces du puzzle
Ce type de recherches donne l’occasion de couvrir tout le programme de géométrie de l’école obligatoire : longueurs, aires, angles, les différents polygones et leurs propriétés, isométries, dessin géométrique …
Jaquet.F (2017) La Gazette de Transalpie/ La Gazzetta di Transalpino No 6 "Les problèmes de la deuxième finale internationale du RMT et leur analyse" (pp 21-38) http://www.armtint.org/it/la-gazzetta-di-transalpino/numero-6/viewcategory/26-la-gazzetta-n-6-articoli-la-gazette-n-6-articles
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