Banque de problèmes du RMT
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Trouver les coordonnées de l’intersection de deux droites déterminées chacune par deux points ; les quatre points étant donnés sur un quadrillage, l’intersection se situant hors de la feuille.
- Voir que la droite (AB), à partir de A, « monte » de 3 carrés pour un déplacement horizontal vers la droite de 5 carrés et que la droite CD, à partir de C « monte » de 5 carrés pour un déplacement horizontal de 7 carrés. Voir qu’entre A et C, il y a un « écart » de 8 carrés.
- A partir de ces observations, dessiner les droites sur une feuille quadrillée plus grande ou les prolonger sur d’autres feuilles et constater que cette procédure exige beaucoup de précision pour trouver les coordonnées du point d’intersection, par exemple en marquant progressivement tous les points de la droite (AB) qui sont sur les intersections du quadrillage (de 5 en 5 selon les abscisses) et en vérifiant les points correspondants de la droite (CD) de même abscisse.
Ou, par voie arithmétique, calculer que pour un déplacement de 35 (ppmc de 5 et 7) carrés vers la droite, la droite (AB) « monte » de 21 (7 × 3) carrés, et la droite (CD) « monte » de 25 (5 × 5) carrés, donc que les deux droites se sont « rapprochées » de 4 (25 – 21) carrés.
- Voir alors qu’il faut donc encore se déplacer de 35 carrés horizontalement vers la droite pour que les droites se rejoignent (car les points A et C sont distants de 8 carrés). Le point d’intersection est donc à 70 carrés à « droite » de C et à 50 carrés plus « haut » que C.
Ou, par voir algébrique, déterminer l’intersection des deux droites dans un système d’axes orthonormés. Par exemple avec le point C comme origine les équations des droites (CD) et (AB) sont : y = 5/7x et y = 3/5x + 8 dont la l’intersection est (70 ; 50).
droite, quadrillage, intersection, coordonnée
Points attribués, sur 1824 classes de 15 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 654 (76%) | 153 (18%) | 38 (4%) | 9 (1%) | 12 (1%) | 866 | 0.35 |
| Cat 8 | 438 (68%) | 124 (19%) | 43 (7%) | 18 (3%) | 21 (3%) | 644 | 0.54 |
| Cat 9 | 98 (62%) | 39 (25%) | 10 (6%) | 4 (3%) | 6 (4%) | 157 | 0.61 |
| Cat 10 | 82 (52%) | 34 (22%) | 3 (2%) | 12 (8%) | 26 (17%) | 157 | 1.15 |
| Total | 1272 (70%) | 350 (19%) | 94 (5%) | 43 (2%) | 65 (4%) | 1824 | 0.51 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Principales stratégies de résolution observées.
1) Graphique. C'est certainement la stratégie la plus utilisée. Elle consiste à représenter, par un dessin, sur une feuille carrée (joignant plusieurs feuilles) le point d'intersection des deux droites.
La stratégie fonctionne si l’on a progressivement marqué les points des droites qui se trouvent aux intersections du quadrillage, et donc perçu (même si ce n’est pas explicitement) une idée de pente constante.
La stratégie ne fonctionne pas si le dessin n'est pas assez précis, car le passage sur certains points du quadrillage n'est alors pas reconnu. Après avoir assemblé plusieurs feuilles, les carrés peuvent ne pas être bien alignés. Il est difficile de compter les carrés de déplacement latéral et vertical. Il est facile d’obtenir un résultat loin du résultat correct et donc noté avec 0 point.
2) Arithmétique. Elle consiste à évaluer à partir du dessin la distance entre les points A et C et à voir comment, en se déplaçant vers la droite, elle tend à diminuer.
La stratégie fonctionne si on trouve le ppcm de 5 et 7 et si on observe qu'après 35 carrés à partir de C, les deux lignes droites se sont rapprochées de 4 carrés et donc, en doublant, les deux droites se rejoignent. On peut également utiliser des fractions et calculer leur rapprochement pour chaque carré (stratégie non prévue dans l'analyse et non reconnue comme correcte par les correcteurs).
La stratégie ne fonctionne pas avec ce même raisonnement, mais si des mesures sont prises (en centimètres ou en carrés) directement à partir du dessin, en raison des approximations nécessaires.
Une variante non prévue par l'analyse de la tâche consiste à mesurer les angles formés par chaque droite avec l'horizontale. Dans ce cas, également, le calcul est trop éloigné du résultat correct à cause des approximations effectuées.
3) Algébrique. C'est une stratégie peu utilisée et seulement en cat. 10, dans les copies examinées.
La stratégie fonctionne si la référence cartésienne est choisie correctement. La difficulté réside dans la configuration du système et non dans sa résolution.
La stratégie ne fonctionne pas si la référence cartésienne n'est pas choisie correctement, en particulier avec l'origine en bas à gauche de la grille, qui n'appartient pas à la ligne droite.
Les commentaires qui suivent sur l’énoncé ont été formulés à partir de la grille des critères pour l’élaboration des problèmes du RMT:
1) Il y a beaucoup d'informations à déduire du dessin : le dessin n’est pas une aide à l’énoncé mais le remplace
2) Il n'est pas facile de déterminer quels points des deux droites coïncident avec les sommets du quadrillage ; en particulier le point du quadrillage dans le coin inférieur gauche semble appartenir à la droite CD.
Enfin, les observations linguistiques suivantes ont été formulées :
1) L’ambiguïté entre "droite" et "segment" ne semble toutefois pas constituer un obstacle dans les travaux en italien.
2) L'ambiguïté dans la question : "combien de carrés doit-on se déplacer vers la droite et combien vers le haut". La présence de la conjonction "et" conduit, en particulier dans les copies en langue française, à répondre par la somme des deux mesures requises
3) Difficulté à expliquer ce qui a été fait dans la stratégie 2) en cas d'utilisation inappropriée du mot "distance": la distance entre les points A et C ou entre d'autres paires de points placés sur la même verticale s'appelle "distance" (avec guillemets), " distance des ordonnées "," différence".
Ce problème est très intéressant car c’est un exemple rare de problèmes sur les droites du plan cartésien dans lequel le repère cartésien n’est pas donné mais doit être choisi par l’élève de manière appropriée. Il s’agit donc d’une occasion de réfléchir au choix d’un système de référence et à la manière dont ce choix peut conditionner la résolution, conduisant à des simplifications ou, au contraire, à des complications dans les calculs.
En outre, le problème conduit à réfléchir à la signification de "pente" d'une droite, à partir de la position de deux de ses points. L'attention est focalisée sur la position relative d'un point par rapport à un autre plutôt que sur les coordonnées des points eux-mêmes.
Enfin, comme cela a été souligné dans les observations linguistiques, le problème induit une réflexion sur le concept de distance, permettant de comprendre la différence entre la distance entre deux points, entre un point et une droite, entre deux droites parallèles.
Ce problème fait partie de l’ensemble des problèmes basés sur la lecture d'un graphique. Cet outil est souvent considéré comme étant à la portée des élèves, mais il n’est pas toujours utilisé correctement et l’expérience du groupe de travail "Fonctions" montre qu’il n’est pas choisi spontanément si d’autres stratégies sont disponibles. Ce problème, ainsi que d’autres du même type, peut favoriser l’acquisition d’outils d’analyse graphique permettant aux élèves de les utiliser de manière plus profitable et de ne pas tomber dans le "piège" d’une observation superficielle.
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