Banque de problèmes du RMT
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Trouver les couples de nombres naturels dont la différence entre leurs carrés est 75, dans un contexte de terrains carrés.
- Se représenter les deux carrés sachant seulement que le deuxième est « une partie » du premier; c’est-à-dire que l’un est « entièrement » contenu dans l’autre (côtés parallèles ou non). Surmonter cette incertitude sur les positions relatives et comprendre que la recherche demandée ne fait appel qu’aux deux aires encore inconnues des deux carrés aux 75 m2 de la surface qui reste.
- Passer aux relations arithmétiques entre ces trois aires et reformuler le problème en la recherche de deux nombres dont la différence est 75.
- Prendre en compte la formule de l’aire du carré et l’exigence des mesures entières des côtés pour restreindre le problème, dans l’ensemble des nombres naturels à la recherche de deux carrés (nombres) dont la différence est 75.
- On peut procéder par voie arithmétique par essais organisés, par exemple à partir des aires successives du petit carré 1, 4, 9, 16, 25, calculer les aires correspondantes du grand qui vaut 75 de plus et vérifier si ce grand est un carré : (1 ;76), (4 ; 79), (9 ; 84), (16 ; 91) , (25 ; 100) ou 52 = 25 ; 100 = 102) , ne pas s’arrêter là et continuer …(81 ; 156), (100 ; 175), (112 = 121 ; 196 = 142 ), … (372 = 1369 ; 1444 = 382). On constate qu’il faut s’arrêter là car la différence entre deux carrés successifs de nombres supérieurs à 38 sera supérieure à 75.
Dans cette procédure par essais, la tâche exige une recherche progressive et un contrôle systématique de chaque nouveau couple, avec calculatrice, ainsi qu’une perception de la progression de la différence entre deux carrés successifs (il est probable que la solution 37 et 38 n’apparaisse pas dans cette procédure et que les essais aillent au-delà).
- La procédure algébrique consiste à résoudre l’équation x2 − y2 = 75, puis à la transformer en (x − y)(x + y) = 75 et trouver les trois couples (de diviseurs de 75) dont le produit est 75 : 1 × 75 ; 3 × 25 et 5 ×15 pour en tirer les solutions 37 et 38 ; 11 et 14 ; 5 et 10. (Mais on sait bien que cette procédure n’est à disposition que du professeur ou d’élèves qui maîtrisent les équations, les identités remarquables, les factorisations, …)
- Une procédure peut aussi être envisagée à partir de considérations géométriques sur le petit carré (de côté a) et le grand (de côté a + b) dont les aires sont respectivement a2 et (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et dont la différence est représentée par un carré b2 et deux rectangles ab. Cette différence 2ab + b2 peut s’écrire b(2a + b) = 75 par factorisation. On en tire les trois valeurs de b (diviseurs de 75) : 1, 3 et 5 donnant les trois valeurs positives de a : 37, 11 et 5 et les 3 valeurs correspondantes de a + b : 38, 14 et 10 donnant les mesures des deux carrés : (38 et 37 m; 14 et 11 m, 10 et 5 m).
carré, aire, différence
Points attribués, sur 1737 classes de 14 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 303 (37%) | 475 (58%) | 27 (3%) | 11 (1%) | 6 (1%) | 822 | 0.71 |
| Cat 8 | 143 (24%) | 377 (63%) | 28 (5%) | 38 (6%) | 13 (2%) | 599 | 1 |
| Cat 9 | 39 (25%) | 105 (66%) | 6 (4%) | 7 (4%) | 1 (1%) | 158 | 0.9 |
| Cat 10 | 33 (21%) | 97 (61%) | 9 (6%) | 11 (7%) | 8 (5%) | 158 | 1.14 |
| Total | 518 (30%) | 1054 (61%) | 70 (4%) | 67 (4%) | 28 (2%) | 1737 | 0.87 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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