Les quatre cercles

Identification

Rallye: 24.II.17 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, AL, GM
Familles:

• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• PI - Utiliser le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle

Remarque et suggestion

Résumé

Montrer que dans des couples de cercles concentriques dont les longueurs diffèrent d'une même mesure, la distance entre les deux cercles est constante.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

analyse de la tâche a priori

- Dessiner au moins deux couples de cercles concentriques.

- Comprendre que l’expression « 10 cm de plus » se réfère à la longueur d’un cercle et que les 10 cm représentent la longueur d’un arc, non mesurable à la règle.

- Comprendre que la distance entre deux cercles concentriques se mesure sur une demi-droite ayant pour origine leur centre et correspond à la différence des deux rayons.

- Procéder par essais en attribuant des valeurs numériques différentes au rayon du cercle intérieur et trouver dans chaque cas respectivement les longueurs des cercles intérieur et extérieur (en ajoutant 10), le rayon du cercle extérieur et donner enfin la mesure de la différence des rayons.

ou bien, procéder par essais en attribuant des valeurs numériques différentes à la longueur du cercle interieur et déduire dans chaque cas respectivement la mesure des longueurs du cercle extérieur (en ajoutant 10), des rayons des deux cercles et, enfin, de leur différence.

- Comparer les résultats obtenus : avec la calculatrice ou avec l’approximation de π = 3,14, on obtient dans les deux cas une valeur approchée de 1,59 ou 1,6 cm. Sans l’approximation de π, la réponse est 5/π.

- Conclure que la distance est la même dans tous les cas des exemples numériques considérés.

- Constater que le résultat est général : en notant respectivement par c et C les mesures des longueurs des cercles intérieur et extérieur et par r et R les mesures de leurs rayons, on obtient C = 2πr + 10, R = (2π r  + 10) / (2π), R – r = 5/π.

Notions mathématiques

cercle, rayon, circonférence, rapport, équation, constante

Résultats

24.II.17

Points attribués, sur 329 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (la distance est toujours la même) avec justification du cas général (rédigée avec l’usage de lettre ou de manière rhétorique (par exemple : nous savons que pour trouver le rayon à partir de la longueur d’un cercle, il faut diviser par π et par 2, si la longueur du cercle a de 10 cm de plus, il faudra aussi diviser 10 par π et par 2…)
• 3 points: Réponse correcte avec une justification basée sur plus de deux exemples numériques (avec le détail des calculs jusqu’à trouver la distance 5/π ou une de ses approximations)
• 2 points: Réponse correcte avec une justification basée sur seulement deux exemples numériques, (avec le détail des calculs jusqu’à trouver la distance 5/π ou une de ses approximations)
• 1 point: Début de recherche cohérente 
  ou réponse « non » avec deux exemples numériques, à cause d’une erreur de calcul, mais avec une procédure correcte
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou seulement une des réponses « oui » ou « non »

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