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Le quattro circonferenze

Identificazione

Rally: 24.II.17 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, AL, GM
Famiglie:

Sunto

Mostrare che in coppie di circonferenze concentriche le cui lunghezze differiscono di una stessa misura, la distanza fra le due circonferenze è costante.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Disegnare almeno due coppie di circonferenze concentriche.

- Comprendere che l’espressione “10 cm più lunga” si riferisce ad una circonferenza e che i 10 cm in più rappresentano la lunghezza di un arco, non misurabile con un righello.

- Comprendere che la distanza tra due circonferenze concentriche si misura su una semiretta avente per origine il loro centro e corrisponde alla differenza dei due raggi.

- Procedere per tentativi attribuendo valori numerici diversi al raggio della circonferenza interna e ricavare, ogni volta, rispettivamente, la misura delle lunghezze della circonferenza interna, della circonferenza esterna (aggiungendo 10) e del suo raggio e infine la misura della differenza dei raggi.

Oppure, procedere per tentativi attribuendo valori numerici diversi alla lunghezza della circonferenza interna e ricavare, ogni volta, rispettivamente, la misura delle lunghezze della circonferenza interna (aggiungendo 10), dei raggi di entrambe le circonferenze e, infine, della loro differenza.

- Confrontare i risultati ottenuti: con la calcolatrice o con l’approssimazione π ≈ 3,14 si ottiene in ogni caso un valore approssimato di 1,59 cm o 1,6 cm. Senza approssimazione di π, la risposta è 5/π.

- Concludere che la distanza è la stessa in tutti i casi relativi agli esempi numerici considerati.

- Constatare che il risultato è generale: indicare rispettivamente con c e C, le misure delle lunghezze delle circonferenze interna ed esterna e con r e R le misure dei loro raggi e ottenere: C = 2πr +10, R = (2π r + 10) / (2π), R– r = 5/π.

Risultati

24.II.17

Punteggi attribuiti su 329 classi di 14 sezioni:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 9	93 (55%)	27 (16%)	22 (13%)	14 (8%)	14 (8%)	170	0.99
Cat 10	80 (50%)	19 (12%)	19 (12%)	10 (6%)	31 (19%)	159	1.33
Totale	173 (53%)	46 (14%)	41 (12%)	24 (7%)	45 (14%)	329	1.16
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

4 punti: Risposta corretta (la distanza è sempre la stessa) con giustificazione del caso generale con l’uso di lettere o in forma retorica (ad esempio: sappiamo che per trovare il raggio a partire dalla circonferenza dobbiamo dividere per π e per 2 e se la circonferenza ha 10 cm di più, bisognerà anche in questo dividere 10 per π e per 2…).
3 punti: Risposta corretta, con una giustificazione basata su più di due esempi numerici (con dettaglio dei calcoli fino a trovare la distanza 5/π o una sua approssimazione)
2 punti: Risposta corretta, con una giustificazione basata solo su due esempi numerici (con dettaglio dei calcoli fino a trovare la distanza 5/π o una sua approssimazione)
1 punto: Inizio di ricerca coerente
oppure risposta “no” su due esempi numerici, dovuta ad un errore di calcolo, ma con procedura corretta
0 punto: Incomprensione del problema o solo una delle risposte “sì” o “no”.