Banque de problèmes du RMT
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Trouver tous les polygones qu’il est possible d’obtenir en découpant un carré quadrillé (4 × 4) en deux parties, trapèze rectangle (trois huitièmes) et un pentagone convexe (cinq huitièmes) puis en juxtaposant ces deux parties par un de leur côté de même longueur.
Analyse de la tâche a priori
- Comprendre que les figures recherchées sont toutes réalisées à partir des deux mêmes pièces du carré assemblées de différentes façons (il est permis de retourner l’une ou l’autre des pièces) en ayant un côté commun
- Analyser les deux pièces, trapèze rectangle et pentagone, qui composent le carré et repérer les côtés d’une même pièce qui ont même longueur et les côtés des deux pièces qui ont même longueur. En particulier, se rendre compte qu’ont même longueur : la grande base du trapèze et deux côtés du pentagone, la petite base et la hauteur du trapèze et deux côtés du pentagone, le côté “oblique” du trapèze et le côté “oblique” du pentagone
- Imaginer assembler les deux pièces du carré en respectant les règles indiquées et essayer de dessiner les figures obtenues sur une feuille quadrillée. L’identification des figures peut être facilitée en découpant un exemplaire du trapèze et du pentagone et en cherchant à les assembler de façon à ce qu les deux pièces aient exactement un côté commun.
- Procéder de façon non organisée (dans ce cas, il est probable que toutes les figures ne soient pas trouvées) ou de façon organisée. Dans ce second cas, considérer par exemple la pièce en forme de pentagone, choisir un de ses côtés et rechercher le ou les côtés du trapèze rectangle qui ont même longueur. Pour chaque côté trouvé, assembler les deux pièces. Se rendre compte qu’en assemblant le pentagone avec le trapèze rectangle par les mêmes côtés après avoir retourné le trapèze rectangle, il est possible parfois d’obtenir une autre figure qui n’est pas superposable à la première (cf. les figures B1 e B2; C1 e C2; D1 e D2; E1 e E2; F1 e F2), tandis que dans d’autres cas, il est impossible de construire une autre figure (cf. les figures A, G)
- Une tâche assez délicate est de contrôler que les figures obtenues ne sont pas superposables les unes aux autres. Une méthode efficace pour le vérifier expérimentalement consiste par exemple à reproduire une des deux figures à comparer sur une feuille de papier assez mince pour voir par transparence et à s’assurer que la reproduction de la figure, éventuellement après retournement de la feuille, n’est pas superposable à l’autre figure. (Il est possible de constater de cette façon que deux figures superposables s’obtiennent l’une à partir de l'autre en retournant les deux pièces qui les composent)
- Conclure que les figures recherchées (distinctes du carré et non isométriques entre elles) sont les 12 figures reproduites ci-dessous Analyse de la tâche a priori
carré, polygone, figure, quadrillage, découpage, juxtaposition, assemblage, isométrique, superposition
Points attribués, sur 229 classes de 17 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 24 (38%) | 17 (27%) | 13 (21%) | 5 (8%) | 4 (6%) | 63 | 1.17 |
| Cat 7 | 13 (21%) | 9 (14%) | 15 (24%) | 16 (25%) | 10 (16%) | 63 | 2.02 |
| Cat 8 | 11 (20%) | 11 (20%) | 10 (19%) | 7 (13%) | 15 (28%) | 54 | 2.07 |
| Cat 9 | 4 (14%) | 5 (18%) | 4 (14%) | 4 (14%) | 11 (39%) | 28 | 2.46 |
| Cat 10 | 1 (5%) | 4 (19%) | 1 (5%) | 5 (24%) | 10 (48%) | 21 | 2.9 |
| Total | 53 (23%) | 46 (20%) | 43 (19%) | 37 (16%) | 50 (22%) | 229 | 1.93 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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