Etranges triangles
Identification
Rallye:
24.F.16 ; catégories:
7, 8, 9, 10 ; domaines:
GP,
GMFamilles:
Remarque et suggestion
Résumé
Déterminer les longueurs possibles, exprimées en nombres entiers, des côtés de triangles dont sont donnés le périmètre et la différence de longueur entre les des deux côtés les plus longs.
Enoncé
Tâche de résolution et savoirs mobilisés
Analyse de la tâche a priori
- Imaginer la taille de certains triangles répondant aux trois conditions. Se rendre compte que, du point de vue numérique, il faut trouver trois nombres dont la somme est 36 et pour lesquels la différence entre les deux plus grands est égale à 6.
- Au vu de la taille des nombres, considérer qu'il n'y a pas beaucoup de solutions et, par conséquent, qu'il est possible de faire un inventaire des triplets de nombres possibles du point vue mathématique, ce qui aboutit à cinq triplets de nombres qui vérifient les trois conditions :
(20, 14, 2), (19, 13, 4), (18, 12, 6), (17, 11, 8), (16, 10, 10).
- Se placer ensuite dans le contexte géométrique pour chercher parmi ces triplets lesquels correspondent à des triangles constructibles. Pour cela, il est possible :
- d'essayer de construire les triangles et de voir qu'il y a deux triplets qui sont bons : (17, 11, 8) et (16, 10, 10) et un doute sur le triplet (18, 12, 6) ; le triangle correspondant à ce triplet parait constructible à la règle et au compas, mais il est "presque à plat". Pour surmonter le doute, remarquer que la longueur du côté le plus long (18 cm) est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés et dépasser l'illusion visuelle de la construction (en raison de l'épaisseur des lignes ou à la précision des mesures) pour en déduire que les trois sommets sont alignés. Il est également possible de se référer à un théorème connu relatif à l'inégalité triangulaire.
- Ou, sans construire les triangles effectivement, utiliser le théorème relatif à l'inégalité triangulaire pour conclure.
Notions mathématiques
triangle, périmètre, côtés
Résultats
24.F.16
Points attribués, sur 173 classes de 16 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|
| Cat 7 | 10 (15%) | 41 (62%) | 8 (12%) | 2 (3%) | 5 (8%) | 66 | 1.26 |
|---|
| Cat 8 | 4 (7%) | 36 (62%) | 7 (12%) | 7 (12%) | 4 (7%) | 58 | 1.5 |
|---|
| Cat 9 | 3 (11%) | 14 (50%) | 6 (21%) | 1 (4%) | 4 (14%) | 28 | 1.61 |
|---|
| Cat 10 | 1 (5%) | 15 (71%) | 0 (0%) | 1 (5%) | 4 (19%) | 21 | 1.62 |
|---|
| Total | 18 (10%) | 106 (61%) | 21 (12%) | 11 (6%) | 17 (10%) | 173 | 1.44 |
|---|
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
- 4 points: Bonne réponse (« deux triangles »), avec mention des deux triplets (17, 11, 8) et (16, 10, 10), ou des dessins illustrant les mesures des côtés, et une justification pour l'exclusion des trois autres triplets (inégalité triangulaire ou même «vous ne pouvez pas construire le triangle », éventuellement en citant le "triangle aplati")
- 3 points: Bonne réponse avec mention des deux triplets ou des dessins de triangles sans aucun commentaire sur le fait qu'il n'y a pas d'autres solutions
- 2 points: Bonne réponse sans mention des triplets et sans dessin des triangles
ou réponse "un triangle" avec dessin du triangle ou mention des longueurs de ses côtés, sans trainage incorrect Ou réponse "trois triangles» ou «la bonne réponse est de trois," avec les dimensions ou les dessins des trois solutions, avec les deux triangles corrects et le triangle "aplati" de côtés (18, 12, 6) - 1 point: réponse «cinq triangles», avec la liste des cinq triples : (20, 14, 2), (19, 13, 4), (18, 12, 6), (17, 11, 8), (16, 10, 10)
ou erreur de calcul de niveau pour certains triplets aboutissant à des triangles effectivement constructibles - 0 point: Incompréhension du problème
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