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Identification

Rallye: 25.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• ANG - Utiliser des angles et/ou mesures d'angles
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

Remarque et suggestion

Résumé

Identifier les triangles formés par les diagonales et les côtés d’un pentagone régulier puis les classer en familles de triangles semblables

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori :

- Comprendre que pour trouver les familles de triangles semblables il faut repérer les nombreux triangles formés par les diagonales et les côtés du pentagone et se rendre compte de la nécessité de trouver un critère pour leur identification Par exemple, remarquer qu’il y a des triangles « élémentaires » et d’autres triangles composés de plusieurs éléments. On peut alors les compter ainsi :

- A ce point, pour trouver le nombre de familles de triangles semblables il est nécessaire de passer à la recherche des mesures des angles des triangles. Il y a plusieurs manières de faire :

Par exemple, si la somme des angles d’un pentagone n’est pas connue, on peut remarquer que celui-ci se décompose en trois triangles et que par conséquent la somme des angles internes est 180 × 3 = 540. Et comme le pentagone est régulier chacun de ses angles mesure 108 = 540 : 3 (en degrés). Un des triangles isocèles de type 4 a donc les deux angles adjacents à la base dont les mesures sont (180° - 108°) :2 = 36°; et les trois angles du sommet A : BAC e DAE, mesurent chacun 36 degrés, et CAD, l'angle à la « pointe » de l’étoile mesure (108 - 36 × 2) = 36 (degrés). On peut ainsi déterminer tous les angles de la figure. Par exemple, les triangles de type 2, 4 et 5 ont deux angles de 36° et un angle de 108°. Les triangles de type 1, 2 et 6 ont un angle de 36° et deux angles de 72°.

Ou, confronter, par exemple, un triangle de type 4 et un de type 6, en notant o la mesure de l’angle aigu du triangle de type 4 et a celle du plus petit angle d’un triangle de type 6, on obtient les équations:

  4o + a  = 180° 
  2o + 3a = 180° 

dont on tire o = a et 5o = 5a = 180° et enfin o = a = 36°. On trouve alors les mesures des deux angles : 72°, etc.

Enfin, vu que tous les triangles de la figure sont isocèles, on peut les classer en deux catégories :

• triangles avec angles de base de 36° et angle au sommet de 108°;
• triangles avec angles au sommet de 36° et angles de base de 72°.

(En cas d’utilisation d’un rapporteur, la précision de l’instrument ne permettra vraisemblablement pas de donner les valeurs exactes des angles)

Notions mathématiques

triangle, pentagone, angle, semblable, dénombrement, visualisation

Résultats

25.I.19

Points attribués, sur 342 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (deux familles de triangles semblables) avec description complète qui permet de justifier la réponse : détermination de toutes les mesures d’angles et répartition de tous les types de triangles en deux familles : 36, 72, 72 pour les trois types de triangles aigus, 36, 36, 108 pour les deux (ou trois) types de triangles obtus
• 3 points: Réponse correcte avec description incomplète : par exemple, les cinq ou six types de triangles n’ont pas été identifiés, le détail des déterminations des mesures d’angles n’est pas mentionné, les mesures des angles prises au rapporteur ne sont qu’approximatives
• 2 points: Réponse correcte avec seulement un dessin ou une description d’un représentant de la famille
• 1 point: Réponse correcte sans aucune explication
  ou (une famille ou trois familles de triangles semblables) avec mention des angles d’une famille au moins
  ou réponse erronée due à des calculs ou mesures imprécises des angles
• 0 point: Réponse erronée : 7 qui correspond à des types de triangles semblables
  ou incompréhension du problème

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