Une étrange croix

Identification

Rallye: 25.F.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/RC - Reconnaître et construire des figures élémentaires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer quels points du contour d’une croix à branches égales dessinée sur un quadrillage peuvent être les sommets d’un carré ayant la même aire que la croix.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre qu’il faut construire un carré joignant quatre points du pourtour de la croix, dont l’aire doit être égale à celle de la croix.

- Déterminer l’aire de la croix en prenant pour unité un carreau du quadrillage et en dénombrant les carreaux contenus dans la croix. L’aire est de 20 unités.

- Comprendre que puisque 20 n’est pas le carré d’un nombre entier, les côtés du carré ne peuvent pas suivre les lignes du quadrillage.

- Procéder par essais successifs afin d’arriver aux deux configurations suivantes qui sont des carrés égaux :

- Vérifier que l’aire du carré est bien 20 unités soit en comparant son aire à celle de la croix en fonctionnant par compensation (par exemple un triangle contenu dans le carré mais pas dans la croix est identique à un triangle contenu dans la croix mais pas dans le carré), soit en déterminant l’aire des figures intérieures au carré (par exemple en dénombrant les carrés entiers: 12, la surface restante peut être vue comme constituée de 8 triangles rectangles moitiés d’un rectangle 2 × 1 et donc d’aire 1 unité. On arrive à 12 + 8 = 20)

Ou bien:

- Chercher la longueur du côté d’un carré dont l’aire est 20. Pour cela chercher un nombre dont le produit par lui-même est égal à 20 ou le plus proche de 20 (4,5 x 4,5 = 20,25) Construire un carré de côté 4,5 unités de côté (l’unité est le côté de carreau), le découper et le placer sur le quadrillage de façon à ce que ses 4 sommets soient sur le contour de la croix. En rester là ou après avoir tracé le carré, vérifier que son aire est précisément 20 (cf. stratégie précédente).

Ou bien:

- Après avoir déterminé l’aire de la croix et dessiné un des deux carrés, en prenant pour unité de longueur un côté du carreau du quadrillage, calculer la longueur d’un côté du carré en utilisant le théorème de Pythagore. Par exemple : $\sqrt{16+4}$, puis son aire : $\sqrt{20}^2 = 20$.

Notions mathématiques

carré, croix, aire

Résultats

25.F.11

Points attribués, sur 175 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (dessin des deux carrés) avec des explications claires et complètes (par exemple indication que les carrés sont identiques et détermination de l’aire d’un des deux ou comparaison à l’aire de la croix)
• 3 points: Dessin des deux carrés avec justifications incomplètes ou peu claires sans carré erroné
  ou dessin d’au moins un des deux carrés et des explications complètes et claires sans carré erroné
• 2 points: Dessin des deux carrés sans explications et sans carré erroné
  ou dessin des deux carrés corrects et d’un autre erroné mais avec explications
• 1 point: Dessin d’un seul carré correct sans explications
• 0 point: Incompréhension du problème

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