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Le plus beau parallélogramme

Identification

Rallye: 25.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Famille:

COG - Effectuer une construction géométrique

Résumé

Construire un parallélogramme dans un rectangle avec deux côtés opposés sur les côtés du rectangle, partageant deux sommets du rectangle, de telle manière qu'un autre sommet soit situé à la même distance des deux côtés opposés du parallélogramme.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre qu'il faut chercher la position P tels que les segments PH et PK ont la même longueur.

- Comprendre que, puisque PH = PK, les deux triangles APH et CPK sont égaux : en effet ils ont leurs angles et un côté qui sont égaux. Et donc PA = PC. Inversement PA = PC implique PH = PK.

- Procéder par essais : donner diverses valeurs à DP, calculer AP avec le Théorème de Pythagore, calculer PC comme différence DC - DP et confronter les valeurs obtenues pour AP et PC. Après plusieurs essais, trouver que, si DP = 1 m on a AP = PC = 2,6 m.

Ou bien:

- Procéder algébriquement : choisir une inconnue liée à la position P, par exemple, la mesure du segment DP et essayer d'écrire une équation.

Par exemple, poser DP = x et écrire l'équation qui traduit l’égalité AP = PC, c’est-à-dire $\sqrt{2.4^2 + x^2} = 3.6 -x$ qui a pour solution x = 1.

- Conclure que dans le parallélogramme cherché, la distance entre le sommet P et le sommet D du rectangle de 1 m.

Ou bien:

- Procéder géométriquement : comprendre que le parallélogramme, ayant les mêmes hauteurs (ou du fait de l’égalité des triangles APH et CPK), on a PC = PA et que le parallélogramme est donc un losange et rechercher une construction possible d’un losange ayant AC pour grande diagonale.

- Trouver le point M milieu de [AC] et tracer la ligne droite r perpendiculaire à AC en M. Le point P est l’intersection de la droite r et du côté CD.

Notions mathématiques

parallélogramme, sommet, équidistance

Résultats

25.F.19

Points attribués, sur 40 classes de 6 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 9	15 (65%)	6 (26%)	1 (4%)	0 (0%)	1 (4%)	23	0.52
Cat 10	12 (71%)	2 (12%)	1 (6%)	0 (0%)	2 (12%)	17	0.71
Total	27 (68%)	8 (20%)	2 (5%)	0 (0%)	3 (8%)	40	0.6
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (P à 1 m de D ou à 2,6 m de C) ou réponse équivalente ou construction géométrique du point P avec des explications claires et complètes (tentatives explicites, procédure algébrique ou géométrique)
3 points: Réponse correcte avec des explications imprécises ou incomplètes ou vérification de la solution
2 points: Réponse correcte sans explication ni justification (la procédure par essais non justifiée et sans vérification ne constitue pas une justification)
ou mauvaise réponse suite à une erreur dans la résolution de l'équation
1 point: Début de recherche cohérente (par exemple, observation de l’égalité des triangles)
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT