La bande de Lili

Identification

Rallye: 26.II.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: 3D, GP, AL, OPD
Familles:

• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ1 - Résoudre une équation du 1e degré
• VS - Visualiser dans l'espace

Remarque et suggestion

Résumé

Calculer la mesure d’un carré formé au centre d’une bande de (4 cm ssur 30 cm) pliée trois fois de suite, dont les deux extrémités se superposent exactement après le troisième pliage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Reconstruire visuellement les trois étapes de la construction pour identifier les propriétés des pliages : angles des plis pour obtenir la perpendicularité des parties de la bande, face gris foncé et face gris clair...

- Essayer éventuellement de découper une bande et de la plier pour se rendre compte que pour obtenir un carré au centre avec des extrémités exactement superposées, on ne peut pas aboutir sans savoir en quel point effectuer le premier pli, et à plus forte raison les suivants. En cas de construction approximative, prendre les mesures sur la bande pliée.

- Reconnaître dans la troisième illustration un carré de 4 cm de côté, quatre rectangles de 4 cm de longueur et avec largeur le côté du petit carré, trois triangles rectangles isocèles, moitié du carré 4 × 4 situé en haut à gauche.

- Se rendre compte qu’il est possible de décomposer la longueur de la bande de 30 cm en 5 morceaux de 4 cm et en 4 morceaux de la longueur recherchée.

- Trouver ainsi que 4 fois la longueur cherchée correspond à 10 cm (30 – (5x4) ) et en déduire que le côté du carré mesure 2,5 cm (10 : 4).

Il est aussi possible de travailler à partir de la troisième figure en calculant les aires de la bande (120 = 4 × 30) celles des deux parties carrées superposées 2 × 16 et celles des trois triangles de double épaisseur 3 x 16 et de soustraire ces parties pour obtenir l’aire des quatre rectangles : 120 – 80 = 40, puis d’un rectangle 40 : 4 = 10 et enfin la largeur d’un de ces rectangles 10 : 4 = 2,5.

Notions mathématiques

espace, visualisation, pliage, longueur, symétrie axiale, carré, longueur, mesure, superposition, différence, nombre décimal, équation,

Résultats

26.II.11

Points attribués, sur 3483 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (2,5 cm) avec des explications claires et complètes (détails de la démarche par écrit, calcul ou dessins)
• 3 points: Réponse correcte (2,5 cm) avec des traces des calculs effectués
• 2 points: Réponse correcte (2,5 cm) sans explication ni justification
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul ou de dénombrement
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple : décomposition de la longueur 30 sur le dessin ou repérage des longueurs correspondant à 4 cm, …)
• 0 point: Incompréhension du problème (par exemple, si les calculs se basent sur le contour de la figure (plis en diagonales), …)

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