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Banque de problèmes du RMTgp134-fr |
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Déterminer une ligne polygonale dont la longueur est la plus courte possible, incluant un segment le plus court possible entre deux parallèles, dans le contexte d’une rivière à traverser.
Analyse de la tâche a priori
- Comprendre que le pont, pour être le plus court possible, doit être perpendiculaire aux berges de la rivière (distance entre deux droites parallèles).
- Essayer d’abord différentes positions du pont, en reliant les extrémités du pont aux maisons, et en comparant les longueurs des trajets obtenus.
- Se rendre compte que les écarts entre les longueurs obtenues lors des différents essais sont petits et que des mesures ne seront pas suffisantes pour répondre avec précision à la question posée.
- Réaliser que la longueur du pont est constante puisque les berges sont parallèles et qu’elle n’a pas d’influence sur la longueur d’un trajet.
- Donc chercher le chemin le plus court revient à chercher la position du pont [CD] tel que la distance JC+DR soit minimale. Le plus important est de bien placer le point C pour tracer le plus court chemin allant d’une maison à l’autre.
- Pour cela, procéder par exemple de la manière suivante : placer un point R’ tel que CDRR’ soit un parallélogramme :
- Comprendre que rechercher la distance JC+DR minimale revient à rechercher la distance JC+CR’ minimale, car CR’ est égal DR puisque CDRR’ est un parallélogramme.
- Prendre conscience que cette distance est minimale si le point C est aligné avec J et R’ puisque J et R’ sont fixés par l’énoncé ou les constructions qui en découlent.
- Tracer la droite (JR’) et placer le point C, point d’intersection de (JR’) avec la berge la plus proche de J
- Tracer le chemin suivant :
Ou, effectuer le même raisonnement en construisant le point J’ tel que JCDJ’ soit un parallélogramme ; puis, en traçant J’R, on obtient le point D, intersection de (J’R) avec la berge la plus proche de R. Ou, effectuer une translation du point J (ou du point R) correspondant à la distance entre les berges, par construction ou par double pliage (voir schéma ci-dessous), afin de faire abstraction de la rivière et de ne prendre en compte que la partie « route » du trajet.
- Tracer le segment RJ’ (ou JR’) de manière à trouver à l’intersection l’une des deux extrémités du pont. Tracer enfin le pont demandé.
géométrie plane, droites parallèles, ligne brisée, longueur, minimum
Points attribués, sur 1178 classes de 18 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 8 | 289 (36%) | 391 (49%) | 86 (11%) | 26 (3%) | 11 (1%) | 803 | 0.85 |
Cat 9 | 72 (38%) | 103 (54%) | 13 (7%) | 4 (2%) | 0 (0%) | 192 | 0.73 |
Cat 10 | 56 (31%) | 98 (54%) | 21 (11%) | 5 (3%) | 3 (2%) | 183 | 0.91 |
Total | 417 (35%) | 592 (50%) | 120 (10%) | 35 (3%) | 14 (1%) | 1178 | 0.84 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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