Des racines carrées

Identification

Rallye: 26.II.17 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, OP, NU
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/PY - Utiliser une relation classique

Remarque et suggestion

Résumé

Dessiner un triangle dont les sommets sont placés sur des sommets des carrés d'un quadrillage 1cm x 1cm et dont les côtés mesurent √41 cm, √45 cm et √68 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Réaliser que √41, √45 et √68 ne sont pas des nombres entiers et que les côtés du triangle ne peuvent donc être ni horizontaux ni verticaux, puisqu’ils sont dessinés sur un quadrillage à mailles carrées.

- Penser ensuite au théorème de Pythagore et chercher des triangles rectangles dont les côtés sont portés par les lignes du quadrillage et dont les hypoténuses ont pour mesures les longueurs données.

- On peut alors être amené à chercher des carrés parfaits dont les sommes deux à deux donnent successivement 41, 45 et 68. Ce qui est relativement facile à trouver en considérant tous les carrés de 1 à 8 (puisque le carré de 9 dépasse 68) : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, et en les couplant pour trouver 41, 45 et 68.

- On a : 41 = 16 + 25, 45 = 9 + 36 et 68 = 4 + 64 (ces décompositions sont les seules possibles).

- Pour obtenir le triangle cherché, il faudra ensuite « juxtaposer » les trois triangles rectangles dont les hypoténuses ont pour longueurs √41, √45 et √68 en centimètres. Le triangle est à imaginer dans un rectangle dont les deux côtés auront pour mesures 6 cm et 8 cm qui sont les plus grands côtés des trois triangles rectangles trouvés (fig. 1).

Ou bien, considérer des valeurs approchées au millimètre près des longueurs données pour les côtés en les traçant, par exemple, avec une règle et construire un triangle en faisant différents essais, de telle sorte que ses sommets coïncident avec les sommets des carrés du quadrillage ;

Ou encore, par exemple, dessiner un cercle centré en un point A du quadrillage (fig. 2) de rayon 6,4 cm (√41≈6,403) et constater qu'il y a 8 points possibles sur le quadrillage (deux sur l'illustration) qui pourraient correspondre au segment cherché et le vérifier en appliquant le théorème de Pythagore aux triangles ABD' et AB'C' obtenus.

- Continuer ensuite la recherche avec la même stratégie en traçant un cercle de même centre A et de rayon 8,25 cm (√68≈8,246) (fig 3), obtenir un point C sur le quadrillage qui donne le deuxième côté du triangle AB’C de Boris, en vérifiant que la longueur B’C vaut √45≈6,7 cm.

Notions mathématiques

géométrie plane, triangle, côté. mesure, quadrillage, sommet, nombre irrationnel

Résultats

26.II.17

Points attribués, sur 396 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Dessin correct du triangle demandé avec la vérification des 3 longueur données, ou la description de sa construction.
• 3 points: Dessin correct du triangle demandé sans vérification ni la description de laprocédure suivie,
  ou le dessin d’un triangle avec les sommets sur trois sommets du quadrillage et comme mesures des côtés des valeurs approchées au millimètre près des demandes, avec une description de la procédure suivie.
• 2 points: Dessin d’un triangle avec deux longueurs correspondant aux données (avec ou sans explications),
  ou dessin d’une ligne brisée contenant deux segments avec deux longueurs correspondant aux données.
  ou dessin de deux ou trois segments disjoints avec des longueurs correspondant aux données.
• 1 point: Dessin d’un triangle avec une longueur correspondant à une donnée.
  ou dessin d’un segment de longueur correspondant à l’une des longueurs recherchées.
• 0 point: Incompréhension du problème.

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